ハムサンドの分割の証明で 「単位球面S⊂R＾3上の点pに対し、
ベクトルOPに直交する3平面でK1,K2,K3の体積を2等分するもの
をE1,E2,E3とする。平面E1からE2までE1からE3までの向きを考
えた符号付の距離をx(p),y(p)で表す。S上の点pを連続的に動か
すと、E1,E2,E3も連続的に位置を変えるからx(p),y(p)も連続的
に変化する。よって、写像g:S\(\vec{R}\\()^{2}\);g(p)=(x(p),y(p)) は連続
である。」というのがあるのですが、
「写像g:S\(\vec{R}\\()^{2}\);g(p)=(x(p),y(p)) は連続である」をどうやって
証明してよいかわかりません。お願いします
ハムサンドの分割とはなんですか？
数学の質問＜５２９＞の星野敏司さんのアドバイスを
参照してください。
着想だけ。
xyz 空間を想像してください。点 P が (0, 0, 1) にあったとしましょう。
そして K の二等分面を E としましょう。
このとき、M を十分大きくとれば、E 上でしかも z 軸上に中心が存在して、
その半径が M であるような球が存在して、K をその中に完全に収めること
ができるでしょう。
P' が yz 平面上の単位円周上で、z 軸の正の向きとのなす角が t であった
としましょう。このとき、P' 方向に放射した軸に垂直な面を考えたとき、
球 M の赤道円盤をバインドするような二平面を考えたとき、その距離は
2Msint になります。考えればわかるように、K を再び二等分するような
平面はこの二平面にバインドされています。
しかも元の距離 x を与える P からの点、すなわち M の中心、ですが、
これも二平面にバインドされていますから、t を十分小さくとれば、
x のずれというものをいくらでも小さくすることができることが直感的に
理解することができるでしょう。