こんにちは。度々すいません。
写像について少し教えて下さい。
まず、１対１の定義がよくわかりません。
参考書によって微妙に書き方が違うので。
後、１対１の時のみ逆関数が
存在するという理由がわかりません。
グラフが１つに定まらないと言われればそれまでですが、
きちんと証明が欲しいのです。
それから逆関数ともとの関数が、ｙ＝ｘについて
対称だというのも証明がわかりません。
最後にｙ＝ｆ（ｘ）の逆関数を求めるときに、
この式をｘについて解いて、そのあと
ｙとｘを入れ替えると逆関数が得られる
というのもどうしてなのかわかりません。
たくさん質問して申し訳ありません。
よろしくお願いします。
２つの集合間を結ぶ写像（ｍａｐ）があるとき、その結び方
はいろいろあります。上の図のように、野菜の集合のニンジ
ンとタマネギが共に１００円だとすると、２対１の関係にあ
ります。ふつう１対１の場合はそう多くはありません。
２つの集合が共に数で出来ているとき、この写像を関数とい
います。１対１は、１次関数や指数関数のときに見られます
が、２次関数や三角関数は多対１となり、逆関数を考えると
き困難となります。
ｘ→ｙの逆方向のｙ→ｘが逆関数ですが、指数関数の例で紹
介してみますと、関数ｙ＝２xを「ｘ＝」型に直すと、
対数関数ｘ＝ｌｏｇ2ｙという逆関数となります。
しかしグラフ化すると、グラフ化の原則「ｘの変化に対して、
ｙの変化を求め、その組（ｘ，ｙ）を点として連続的に描く」
のため、この対数関数のままではグラフ化が出来ないので、
ｘとｙを入れ替え、対数関数ｙ＝ｌｏｇ2ｘとして、
描くことになります。したがって、これを逆関数と言っていま
す。集合論的な逆関数のイメージとグラフ化の逆関数の間に
若干の落差が出来てしまうのが残念です。
この落差を埋めるのに便利なのが、直線ｙ＝ｘに関して線対
称と考えることです。指数関数ｙ＝２x上の点（２，４）
と対数関数ｙ＝ｌｏｇ2ｘ上の点（４，２）が直線ｙ＝ｘ
に関して線対称になっています。
「きちんとした証明が欲しい」という要求には、勉強不足な
私は答えられませんので、大学の先生に質問してみて下さい。
自分で調べてみるのも、写像の概念を理解するのに役立つか
もしれません。