交点を通る傾き -\(\frac{3}{2}\) の直線は表されていますか？

x-y+1=0,3x+2y-12=0と解釈して考えます。交点はP(2,3)となります。
(x-y+1)+k(3x+2y-12)=0という式は、x,yについて１次式なので直線を表します。
さらに、(x,y)=(2,3)を左辺に代入すれば０となります。よって、この式は、
Pを通る直線を表します。
ただし、Pを通る直線をすべて表すとは限りません。
たとえば、　kをどんな値にしても、直線3x+2y-12=0にはなりません。

(x-y+1)+k(3x+2y-12)=0という式は、x,yについて１次式なので直線を表します。
さらに、(x,y)=(2,3)を左辺に代入すれば０となります。よって、この式は、
Pを通る直線を表します。

とありましたが、この場合の左辺というのは(x-y+1)のことですよね？
　その場合ですと確かに 2-3+1=0になりますが、それでなぜこの式がPを通る
直線であるとわかるのでしょうか？

この場合の左辺は、(x-y+1)+k(3x+2y-12)のことです。(x,y)=(2,3)を代入すると、
左辺＝（２－３＋１）＋ｋ（６＋６－１２）
　　＝０＋ｋ・０
　　＝０＝右辺
したがって、点Ｐ（２，３）は、この直線上に存在します。

答えていただきありがとうございます。確かにそうでした。
さて、この法則？は経験的に出たものでしょうか？
それとも証明か何かありますか？

２つのグラフｆ（ｘ、ｙ）＝０とｇ（ｘ、ｙ）＝０の交点を求める。
それは連立すれば求まる。交点があるとすると、
その交点は、ｆ（ｘ、ｙ）＋ｋ・ｇ（ｘ、ｙ）＝０の上に存在する。
ｋは任意の実数。
この方程式は、交点を通るグラフをほとんど表現できるが、
ｇ（ｘ、ｙ）＝０だけは表せない。ａ・ｆ（ｘ、ｙ）＋ｂ・ｇ（ｘ、ｙ）＝０
の方が、表現としては完全かもしれない。

つづきですが、お返事２００４／１／１７の書いてある内容をみると
どうも同じことをｆ（ｘ、ｙ）等を使って表した（一般式のような感じ）
だけであって証明とはいえないような気がします。
もっとも証明をしてほしいといったわけではないので、
しょうがないのかもしれませんが、、、。

やはり経験的にできたということなのでしょうか？

ｆ（ｘ、ｙ）＝０とｇ（ｘ、ｙ）＝０の関数がある（そららは交点をもつ）とき、
それらの交点はｆ（ｘ、ｙ）＋ｋ・ｇ（ｘ、ｙ）＝０に存在する。