F(t)=t＾－２ｔ＋２＋ｘとして∫０からｘのＦ(t) に関してです。
この形を教科書が定積分を導入したようにして（つまり微積分学の基本定理
が成り立つから∫aからx＝F（x）－F（a）が成り立つとする方法で）導くた
めにｙ＝F（ｔ）のグラフを書いてｙ＝F（ｔ）のｘからx＋ｈまでの面積が
ｈ→０となるときを調べてみました。すると、放物線自身が上下に動くので
F(t)＞０のとき、F(t)を微分（ｘ＋ｈとｘのときの差÷ｈ）してもF(x)にな
らない（？）のに私の参考書ではF(t)のなかのｘが∫で使われているｘとは
関係のない定数であるかのように積分のF(x)－F(0)を普通に使っています。
微分できてこそ使える式を使っていいのでしょうか。そこがどうしても理解
できないのでだれか教えてください。
ｆ（ｔ）＝ｔ^2－２ｔ＋２＋ｘのとき、
ｘ
∫ ｆ（ｔ）ｄｔを計算せよと言う問題で良いですか？
０
ｆ（ｔ）＝ｔ^2－２ｔ＋２＋ｘは、ｆ（ｔ）が表すように１変数関数です。
変数はｔで、ｘは定数と言う扱いです。
したがって、不定積分は
ｔ^3
Ｆ（ｔ）＝∫ｆ（ｔ）ｄｔ＝──－ｔ^2＋２ｔ＋ｘｔ＋Ｃ
３
それを０からｘ（定数）まで、定積分するのだから、
ｘ ｘ^3 ｘ^3
［Ｆ（ｔ）］ ＝──－ｘ^2＋２ｘ＋ｘ^2＝──＋２ｘ………（答）
０ ３ ３
f(t):=\(t^{2}\)-2t+2+x として、∫[0..x]f(t)dt で問題になるのは、
y=f(t) の t から t+h までの面積の h→0 の状態であって、
x から x+h までの…ではありませんから、x は定数として
扱って何の問題もありません。f(t) 中の x と積分範囲の x は
もちろん連動していますが、単に x が大きくなると放物線が上に
上がると同時に積分範囲も大きくなるというだけで、f(t) の t を
変数と見た不定積分(それを F(t) とする)を計算して、
F(t:=x)-F(t:=0) を計算すればいいだけのことです。