(1)
楕円を \(x^{2}\)/\(a^{2}\)+\(y^{2}\)/\(b^{2}\)=1 (a>b>0) と置く。
この楕円に (acosθ,bsinθ) で接する接線の方程式は、
(cosθ/a)x+(sinθ/b)y=1
で、その方向ベクトルは
(sinθ/b,-cosθ/a)
となる。楕円の焦点を F(\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(b^{2}\)),0) とすると、焦点から接線への
垂線の方向ベクトルは
(cosθ/a,sinθ/b)
となる。よって、垂線の足を (\(x_{0}\),\(y_{0}\)) と置くと、
\(x_{0}\) = acosθ+(sinθ/b)t = \(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(b^{2}\))+(cosθ/a)s ,
\(y_{0}\) = bsinθ-(cosθ/a)t = (sinθ/b)s
と書ける。ここで t を消去すると、
((cosθ\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(sinθ\()^{2}\)/\(b^{2}\))s = 1-(cosθ\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(b^{2}\)))/a …(*)
となる。さて、
(\(x_{0}\)\()^{2}\)+(\(y_{0}\)\()^{2}\)
= \(a^{2}\)-\(b^{2}\)+((2cosθ\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(b^{2}\)))/a)s+((cosθ\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(sinθ\()^{2}\)/\(b^{2}\))\(s^{2}\)
= \(a^{2}\)-\(b^{2}\)+2(1-((cosθ\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(sinθ\()^{2}\)/\(b^{2}\))s)s
　　　　　　　　　　　　　+((cosθ\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(sinθ\()^{2}\)/\(b^{2}\))\(s^{2}\)
= \(a^{2}\)-\(b^{2}\)+2s-((cosθ\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(sinθ\()^{2}\)/\(b^{2}\))\(s^{2}\)
となるが、実は
-\(b^{2}\)+2s-((cosθ\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(sinθ\()^{2}\)/\(b^{2}\))\(s^{2}\) = 0 …(**)
である。
というのは、(**)において s を X で置き換えて X の二次方程式として
これを解くと、
X = (1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)(1-\(b^{2}\)((cosθ\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(sinθ\()^{2}\)/\(b^{2}\))))/((cosθ\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(sinθ\()^{2}\)/\(b^{2}\))
　= (1-(cosθ\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(b^{2}\)))/a)/((cosθ\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(sinθ\()^{2}\)/\(b^{2}\))
であり、(*)から X=s が根なのである。したがって、
(\(x_{0}\)\()^{2}\)+(\(y_{0}\)\()^{2}\) = \(a^{2}\)
となり、a は定数であるから、題意は示された。

(2)
双曲線を \(x^{2}\)/\(a^{2}\)-\(y^{2}\)/\(b^{2}\)=1 と置く。漸近線は bx\(\pm\)ay=0 。
この双曲線上の点 (\(\frac{a}{c}\)osθ,btanθ) と二本の漸近線との距離はそれぞれ
|b(\(\frac{a}{c}\)osθ)+a(btanθ)|/\(\sqrt{\quad}\)(\(b^{2}\)+\(a^{2}\)), |b(\(\frac{a}{c}\)osθ)-a(btanθ)|/\(\sqrt{\quad}\)(\(b^{2}\)+\(a^{2}\))
であり、掛け合わせると
ab|1/(cosθ\()^{2}\)-(tanθ\()^{2}\)|/(\(b^{2}\)+\(a^{2}\)) = ab/(\(b^{2}\)+\(a^{2}\))
となり、a, b は定数であるから、題意は示された。