次の三元一次連立方程式を解いてみましょう。
┌５ｘ＋６ｙ＋７ｚ＝８
│　ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝４
└９ｘ＋10ｙ－　ｚ＝-2
行列を使って表現すると、
┌５　６　７┐┌ｘ┐　┌８┐
｜１　２　３｜｜ｙ｜＝｜４｜
└９　10　-1┘└ｚ┘　└-2┘
となる。
┌５　６　７┐
｜１　２　３｜
└９　10　-1┘を行列Ａとすると、逆行列Ａ^-1は
掃き出し法で、連立方程式の解を求めると同時に求めること
が出来る。

行│ｘ　ｙ　ｚ│定数項│　　逆行列　　　│操作
─┼─────┼───┼────────┼───────
１│５　６　７｜　８　｜１　　０　　　０｜
２｜１　２　３｜　４　｜０　　１　　　０｜
３｜９　10　-1｜　-2　｜０　　０　　　１｜
─┼─────┼───┼────────┼───────
４│１　２　３｜　４　｜０　　１　　　０｜２行
５｜５　６　７｜　８　｜１　　０　　　０｜１行
６│９　10　-1｜　-2　｜０　　０　　　１｜
─┼─────┼───┼────────┼───────
７│１　２　３｜　４　｜０　　１　　　０｜
８｜０　-4　-8｜ -12　｜１　　-5　　　０｜５行－４行×５
９│０　-8 -28｜ -38　｜０　　-9　　　１｜６行－４行×９
─┼─────┼───┼────────┼───────
10│１　２　３｜　４　｜０　　１　　　０｜
11｜０　１　２｜　３　｜-\(\frac{1}{4}\)　\(\frac{5}{4}\)　　 ０｜８行÷(-4)
12│０　-8 -28｜ -38　｜０　　-9　　　１｜
─┼─────┼───┼────────┼───────
13│１　０　-1｜　-2　｜\(\frac{1}{2}\)　-\(\frac{3}{2}\)　　 ０｜10行－11行×２
14｜０　１　２｜　３　｜-\(\frac{1}{4}\)　\(\frac{5}{4}\)　　 ０｜
15│０　０ -12｜ -14　｜-2　　１　　　１｜12行＋11行×８
─┼─────┼───┼────────┼───────
16│１　０　-1｜　-2　｜\(\frac{1}{2}\)　-\(\frac{3}{2}\)　　 ０｜
17｜０　１　２｜　３　｜-\(\frac{1}{4}\)　\(\frac{5}{4}\)　　 ０｜
18│０　０　１｜ \(\frac{7}{6}\)　｜\(\frac{1}{6}\)　-\(\frac{1}{12}\) -\(\frac{1}{12}\)｜15行÷(-12)
─┼─────┼───┼────────┼───────
19│１　０　０｜-\(\frac{5}{6}\)　｜\(\frac{2}{3}\) -\(\frac{19}{12}\) -\(\frac{1}{12}\)｜16行＋18行
20｜０　１　０｜ \(\frac{2}{3}\)　｜-\(\frac{7}{12}\)　\(\frac{4}{3}\)　 \(\frac{1}{6}\)｜17行－18行×２
21│０　０　１｜ \(\frac{7}{6}\)　｜\(\frac{1}{6}\)　-\(\frac{1}{12}\) -\(\frac{1}{12}\)｜
─┴─────┴───┴────────┴───────

行列Ａが単位行列Ｉになるのと同時に、単位行列Ｉが逆行列
Ａ^-1となる。逆行列Ａ^-1は
┌\(\frac{2}{3}\)　　-\(\frac{19}{12}\) -\(\frac{1}{12}\)┐　　１┌８　-19　-1┐
｜-\(\frac{7}{12}\)　　\(\frac{4}{3}\)　　\(\frac{1}{6}\)｜＝──｜-7　 16　２｜
└\(\frac{1}{6}\)　　-\(\frac{1}{12}\)　-\(\frac{1}{12}\)┘　１２└２　 -1　-1┘
となる。
また、連立方程式の解はｘ＝-\(\frac{5}{6}\)，ｙ＝\(\frac{2}{3}\)，ｚ＝\(\frac{7}{6}\)　である。
逆行列だけ求めるときは、上の表の定数項の列をカットして計
算して下さい。

大学の線形代数学の行列式のところに、逆行列の計算公式がの
っていますので、そちらも参考にして下さい。