質問＜１６３＞の半円の重心と同様にして求める。



半円周の曲線の方程式が
ｙ＝\(\sqrt{\quad}\)（ｒ²－ｘ²）
０≦ｘ≦ｒということで計算してみた。

１／４円の面積は
Ｍ＝∫∫　ｄｘｄｙ
　　　Ｄ

　x=r　　　y=\(\sqrt{\quad}\)（ｒ²－ｘ²）
＝∫　ｄｘ　∫　ｄｙ
　x=0　　　y=0

　ｒ
＝∫　\(\sqrt{\quad}\)（ｒ²－ｘ²）ｄｘ
　０

　π/2
＝∫　ｒcosθ・ｒcosθｄθ
　０

＝πｒ²／４

１／４円の面積は二重積分を使わなくても簡単に出せましたね。

重心は図より、
＿
ｙ＝∫∫　ｙ　ｄｘｄｙ　／Ｍ
　　　Ｄ

　x=ｒ　　　y=\(\sqrt{\quad}\)（ｒ²－ｘ²）
＝∫　ｄｘ　∫　ｙｄｙ　／Ｍ
　x=０　　　y=0

　ｒ
＝∫　（ｒ²－ｘ²）／２　ｄｘ　／Ｍ
　０

　　　　　　　　　ｒ
＝【ｒ²ｘ－ｘ³／３】　／２Ｍ
　　　　　　　　　０

　２ｒ³　１
＝──・──
　３　　２Ｍ

　４ｒ
＝──
　３π

＿
ｘも同様にして、

したがって、
　　　４ｒ　４ｒ
点Ｇ（──，──　）……（答）
　　　３π　３π

半円の重心が分かれば四分円の重心はすぐ分かるような気もしますが…。
xy 平面で、原点中心半径 r の円の x,y>=0 の部分について考えます。
重心の x 座標を c と置けば、明らかに重心の y 座標は c です。
重心の定義により、
∫[0..r](c-x)\(\sqrt{\quad}\)(\(r^{2}\)-\(x^{2}\))dx = 0
ですから、これをしこたま計算すれば c=4r/(3π) を得ます。