問 1.
OR = PQ
= OQ - OP
= sOC + (1 - s)OD - (tOA + (1 - t)OB)
= (-s, 2s, -s) + (-2 + 2s, -1 + s, 3 - 3s)
- (t, 0, -t) - (2 - 2t, 1 - t, 0)
= (-4 + s + t, -2 + 3s + t, 3 - 4s + t)
ここで
x = -4 + s + t,
y = -2 + 3s + t,
z = 3 - 4s + t
と置いて
x - y = -2 - 2s,
y - z = -5 + 7s.
7(x - y) + 2(y - z) = -14 - 14s - 10 + 14s
7x - 5y - 2z = -24.

[別解]
OR = OQ - OP = OC + sCD - OA - tAB
= (-2, 2, 0) + s(-1, -3, 4) - t(1, 1, 1)
で, (-1, -3, 4)×(1, 1, 1) = (-7, 5, 2)
だから法線ベクトルが (7, -5, -2) で (-2, 2, 0)
を通る平面だから (以下略)。

問2.
上記で 0 ≦ s ≦ 1, 0 ≦ t ≦ 1 の場合である。
(s, t) = (0, 0) の時 \(P_{0}\)(-4, -2, 3),
(s, t) = (0, 1) の時 \(P_{1}\)(-3, -1, 4),
(s, t) = (1, 0) の時 \(P_{2}\)(-3, 1, -1),
(s, t) = (1, 1) の時 \(P_{3}\)(-2, 2, 0).
\(P_{0}\)\(P_{1}\) = (1, 1, 1),
\(P_{0}\)\(P_{2}\) = (1, 3, -4),
\(P_{0}\)\(P_{3}\) = (2. 4, -3)
当然ながら \(P_{0}\)\(P_{3}\) = \(P_{0}\)P1 + \(P_{0}\)\(P_{2}\) なので
この四点を結んで出来る図形は平行四辺形である。
\(P_{0}\)\(P_{1}\)・\(P_{0}\)\(P_{2}\) = 0 より実は長方形なので,
求める面積は
|\(P_{0}\)\(P_{1}\)||\(P_{0}\)\(P_{2}\)|
= (\(\sqrt{\quad}\)3)・(\(\sqrt{\quad}\)26)
= \(\sqrt{\quad}\)78.