初めて投稿させていただきます．
以前にもガウス関数の質問がありましたので，
ここでも質問させていただきます．
今分からないのが
∫exp(a\(x^{2}\)+bx)dxの積分範囲-∞～∞
と
∫exp(a\(x^{2}\)+ibx)dxの積分範囲-∞～∞
です．
これらのどのようにして解くのでしょう．
bの項がなければ
そのままのガウス関数の公式で解くことができるのですが
初めて投稿させていただきます．
以前にもガウス関数の質問がありましたので，
ここでも質問させていただきます．
今分からないのが
∫exp(a\(x^{2}\)+bx)dxの積分範囲-∞～∞
と
∫exp(a\(x^{2}\)+ibx)dxの積分範囲-∞～∞
です．
これらのどのようにして解くのでしょう．
bの項がなければ
そのままのガウス関数の公式で解くことができるのですが
２次関数の平方完成を使います。
a\(x^{2}\)+bx=a(x+b/(2a)\()^{2}\)-\(b^{2}\)/(4a)だから、
exp(a\(x^{2}\)+bx)=exp(a(x+b/(2a)\()^{2}\))exp(-\(b^{2}\)/(4a))
t=x+b/(2a)とすれば、積分できます。
次に
a\(x^{2}\)+ibx=a(x+ib/(2a)\()^{2}\)+\(b^{2}\)/(4a)だから、
exp(a\(x^{2}\)+bx)=exp(a(x+ib/(2a)\()^{2}\))exp(\(b^{2}\)/(4a))
z=x+ib/(2a)として、変数変換します。
積分経路を考慮しながら、コーシーの積分定理を使えば計算できます。