よくわかりませんが、同じもののようです。
ノルム∥ｘ∥は、ｘ∈体Ｆに対して、正の値にする働きだし、
絶対値｜ｘ｜は、ｘ∈有理数体Ａに対して、正の値にする働
きなので、やさしい数学の段階では同じもののようです。
なお、ｘ＝０の時は∥ｘ∥＝｜ｘ｜＝０です。