問一
(1) m(x + 1) + \(x^{2}\) - y + 3 = 0
より
x + 1 = 0,
\(x^{2}\) - y + 3 = 0.
従って (-1, 4).

(2) y = \(x^{2}\) + mx + m + 3
= (x + \(\frac{m}{2}\)\()^{2}\) -\(m^{2}\)/4 + m + 3
P(-\(\frac{m}{2}\), -\(m^{2}\)/4 + m + 3).
x = -\(\frac{m}{2}\),
y = -\(m^{2}\)/4 + m + 3
と置くと, 最初の式から m = -2x
これを二番目の式に入れて
y = -\(x^{2}\) - 2x + 3.

(3) ① で y = 0 とするとき x の判別式を D とすれば
D/4 = 1 - 4m ≧ 0 即ち m ≦ \(\frac{1}{4}\).
② でも同様にして
D = \(m^{2}\) - 4(m + 3) = \(m^{2}\) - 4m - 12 = (m - 6)(m + 2) ≧ 0
即ち m ≦ -2, 6 ≦ m.
以上より m ≦ -2.

(4) 先ず m ≦ \(\frac{1}{4}\).
x = 0 の時を考えて m > 0.
頂点の x 座標は -1 なので OK.
以上より 0 ＜ m ≦ \(\frac{1}{4}\).

(5) 2\(x^{2}\) + (m + 2)x + 2m + 3 > 0.
左辺 = y と置いて graph を考えると
D = (m + 2\()^{2}\) - 8(2m + 3)
= \(m^{2}\) + 4m + 4 - 16m - 24
= \(m^{2}\) - 12m - 20 ＜ 0.
D = 0 と置くと
m = 6 \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)56 = 6 \(\pm\) 2\(\sqrt{\quad}\)14.
従って 6 - 2\(\sqrt{\quad}\)14 ＜ m ＜ 6 + 2\(\sqrt{\quad}\)14.

問二
(1) x = 1 - 3y ≧ 0 より
3y ≦ 1 だから y ≦ \(\frac{1}{3}\).
元のものと合わせて
-2 ≦ y ≦ \(\frac{1}{3}\).

(2) \(x^{2}\) + \(y^{2}\) = (1 - 3y\()^{2}\) + \(y^{2}\)
= 10\(y^{2}\) - 6y + 1
= 10(\(y^{2}\) - 3\(\frac{y}{5}\)) + 1
= 10(y - \(\frac{3}{10}\)\()^{2}\) - \(\frac{9}{10}\) + 1
= 10(y - \(\frac{3}{10}\)\()^{2}\) + \(\frac{1}{10}\).
より, y = \(\frac{3}{10}\) (x = \(\frac{1}{10}\)) の時最小値 \(\frac{1}{10}\).
y = 0 (x = 7) の時最大値 53.

(3) x + 3y = 1 上の点と, 原点との距離の自乗の最大値と最小値。

問三
(1) x = 1 の時 1 - a + 2a + 4 ＜ 0.
即ち a + 5 ＜ 0.
a ＜ -5.

(2) 実数解を持つための条件は
D = \(a^{2}\) - 4(2a + 4)
= \(a^{2}\) - 8a - 16 ≧ 0.
D = 0 と置くと a = 4 \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)32 = 4 \(\pm\) 4\(\sqrt{\quad}\)2.
だから a ≦ 4 - 4\(\sqrt{\quad}\)2, 4 + 4\(\sqrt{\quad}\)2 ≦ a.
x = 1 の時 a + 5 > 0 つまり a > -5.
左辺 = (x - \(\frac{a}{2}\)\()^{2}\) - \(a^{2}\)/4 + 2a + 4
だから \(\frac{a}{2}\) > 1 つまり a > 2.
だから a ≧ 4 + 4\(\sqrt{\quad}\)2.

問四
二次方程式の解と係数の関係を用いる。
最初の式から
a + b = -1,
ab = P.
c + d = -3,
cd = P
よって
与式 = (\(a^{2}\) - (c + d)a + cd)(\(b^{2}\) - (c + d)b + cd)
= (\(a^{2}\) + 3a + P)(\(b^{2}\) + 3b + P)
= \(P^{2}\) + (\(a^{2}\) + \(b^{2}\) + 3(a + b))P + ab(a + 3)(b + 3)
= \(P^{2}\) + ((a + b\()^{2}\) - 2ab - 3)P + P(ab + 3(a + b) + 9)
= \(P^{2}\) + (1 - 2P - 3)P + P(P - 3 + 9)
= \(P^{2}\) - 2\(P^{2}\) - 2P + \(P^{2}\) + 6P
= 4P.

[問題4]
4p.