現在の高校一年生までなら解けない。
解けないだけではなくてこれ以上どうしようもない。
というのは
\(x^{2}\) + x + 1 = (x + \(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) + \(\frac{3}{4}\) = 0
となるようにしろといわれても
(x + \(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) ≧ 0 だから
\(x^{2}\) + x + 1 = (x + \(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) + \(\frac{3}{4}\) ≧ 0 + \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
だから = 0 になんて絶対ならない。

i = \(\sqrt{\quad}\)(-1) という数を考える。つまり \(i^{2}\) = -1.
そうすると
\(x^{2}\) + x + 1 = (x + \(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) + \(\frac{3}{4}\) = 0
(x + \(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) = -\(\frac{3}{4}\)
x + \(\frac{1}{2}\) = \(\pm\)(\(\sqrt{\quad}\)(-3))/2.
x = -\(\frac{1}{2}\) \(\pm\)(\(\sqrt{\quad}\)(-3))/2 = (-1 \(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)(-3))/2
となる。(これは現在の数学 II の範囲)

複素数の範囲に(重複度を込めて)二つの根を持つ。

２次方程式の解の公式を使えば解けます。