(1) 半直線条件より、a>0 を用いて w=az と書ける。
OP.OQ=1 すなわち |z||w|=|z||az|=a|z|^2=az(z~)=1 より、a=\(\frac{1}{z}\)(z~) だから、
w=az=\(\frac{z}{z}\)(z~) = 1/(z~) ...(答)

(2) このとき、tを実数として z=1+it と書ける。
w=1/(1-it)=(1+it)/(1+\(t^{2}\)) となるから、xy平面の言葉で書き直せば、
tをパラメタ(実数)として、(x,y)=(1/(1+\(t^{2}\)),t/(1+\(t^{2}\))) である。
これを x,y で表現するために、tを消去したい。\(\frac{y}{x}\)=t となることに注意して、
x=1/(1+\(t^{2}\))=1/(1+(\(\frac{y}{x}\)\()^{2}\)) すなわち x+\(y^{2}\)/x=1 を得る。
パラメタ表示から分かるように、x=0 となることはないから、両辺にxをかけて
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-x=0 すなわち (x-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+\(y^{2}\)=(\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) を得る。ただしxは0ではない。
すなわち、wは「中心 (\(\frac{1}{2}\),0) 半径 \(\frac{1}{2}\) の円周から (0,0) を除いた領域」
に存在し、その領域の任意の点に存在することは、パラメタ表示から明らかである。