まず、正弦の7倍公式を計算する。
sin(2t)=2sin(t)cos(t),
cos(2t)=1-2si\(n^{2}\)(t),
sin(3t)=3sin(t)-4si\(n^{3}\)(t),
cos(3t)=(1-4si\(n^{2}\)(t))cos(t),
sin(4t)=2sin(2t)cos(2t)=2(2sin(t)cos(t))(1-2si\(n^{2}\)(t))
　　　　=(4sin(t)-8si\(n^{3}\)(t))cos(t),
cos(4t)=1-2si\(n^{2}\)(2t)=1-2(2sin(t)cos(t)\()^{2}\)=1-8si\(n^{2}\)(t)+8si\(n^{4}\)(t),
sin(7t)
=sin(4t)cos(3t)+cos(4t)sin(3t)
=(4sin(t)-8si\(n^{3}\)(t))cos(t)(1-4si\(n^{2}\)(t))cos(t)+(1-8si\(n^{2}\)(t)
　　　　　　　　　　　　　　　　　+8si\(n^{4}\)(t))(3sin(t)-4si\(n^{3}\)(t))
=(4sin(t)-8si\(n^{3}\)(t))(1-4si\(n^{2}\)(t))(1-si\(n^{2}\)(t))+(1-8si\(n^{2}\)(t)
　　　　　　　　　　　　　　　　　+8si\(n^{4}\)(t))(3sin(t)-4si\(n^{3}\)(t))
=7sin(t)-56si\(n^{3}\)(t)+112si\(n^{5}\)(t)-64si\(n^{7}\)(t).
これより、多項式 7x-56\(x^{3}\)+112\(x^{5}\)-64\(x^{7}\) の零点が
x=sin(2n\p\(\frac{i}{7}\)) (n=0..6) であることがわかる。
上記多項式をxで割れば、7-56\(x^{2}\)+112\(x^{4}\)-64\(x^{6}\) の零点は
x=sin(2n\p\(\frac{i}{7}\)) (n=1..6) である。
根と係数との関係より、
sin(2\p\(\frac{i}{7}\))sin(4\p\(\frac{i}{7}\))sin(6\p\(\frac{i}{7}\))sin(8\p\(\frac{i}{7}\))sin(10\p\(\frac{i}{7}\))sin(12\p\(\frac{i}{7}\))
=-\(\frac{7}{64}\)
で、sin(2(7-n)\p\(\frac{i}{7}\))=-sin(2n\p\(\frac{i}{7}\)) であるから、
sin(2\p\(\frac{i}{7}\))sin(4\p\(\frac{i}{7}\))sin(6\p\(\frac{i}{7}\))=sqrt(7)/8
となる(符号に注意せよ)。
一方、\(A_{0}\)\(A_{1}\).\(A_{0}\)\(A_{2}\).\(A_{0}\)\(A_{3}\)=8sin(2\p\(\frac{i}{7}\))sin(4\p\(\frac{i}{7}\))sin(6\p\(\frac{i}{7}\)) である。
したがって、\(A_{0}\)\(A_{1}\).\(A_{0}\)\(A_{2}\).\(A_{0}\)\(A_{3}\) = sqrt(7) ...(答)

複素数平面上で単位円を考える。
A0=1,A1=z=cos(2P\(\frac{i}{7}\))+isin(2P\(\frac{i}{7}\))とする。
A2=\(z^{2}\),A3=\(z^{3}\),A4=\(z^{4}\),A5=\(z^{5}\),A6=\(z^{6}\)とする。
求める値の２乗を計算する。
(A1-A0)(A2-A0)(A3-A0)(A4-A0)(A5-A0)(A6-A0)
=(z-1)(\(z^{2}\)-1)(\(z^{3}\)-1)(\(z^{4}\)-1)(\(z^{5}\)-1)(\(z^{6}\)-1)
=1-z-\(z^{2}\)+\(z^{5}\)+2\(z^{7}\)-\(z^{9}\)-\(z^{10}\)-\(z^{11}\)-\(z^{12}\)+2\(z^{14}\)+\(z^{16}\)-\(z^{19}\)-\(z^{20}\)-\(z^{21}\)
ここで、\(z^{7}\)=1を使って整理する。
1-z-\(z^{2}\)+\(z^{5}\)+2-\(z^{2}\)-\(z^{3}\)^\(z^{4}\)-\(z^{5}\)+2+\(z^{2}\)-\(z^{5}\)-\(z^{6}\)+1
=6-z-\(z^{2}\)-\(z^{3}\)-\(z^{4}\)-\(z^{5}\)-\(z^{6}\)
1+z+\(z^{2}\)+\(z^{3}\)+\(z^{4}\)+\(z^{5}\)+\(z^{6}\)=0だから、
計算結果は７となる。
答は\(\sqrt{\quad}\)7となる。