f(x) = \(x^{2}\) - x∫_\(0^{1}\) |f(x)|dt
と書けるので
a = ∫_\(0^{1}\) |f(x)|dt … (1)
と置く。すると
f(x) = \(x^{2}\) - ax.
これを (1) に代入。
a = ∫_\(0^{1}\) |\(t^{2}\) - at|dt

a で場合分け。
i) a ＜ 0 の時
a = ∫_\(0^{1}\) (\(t^{2}\) - at)dt
= [\(t^{3}\)/3 - a\(t^{2}\)/2]_\(0^{1}\)
= \(\frac{1}{3}\) - \(\frac{a}{2}\)
3\(\frac{a}{2}\) = \(\frac{1}{3}\)
a = \(\frac{2}{9}\) (＜ 0 ではないので不適)。

ii) 0 ≦ a ＜ 1 の時
a = -∫_\(0^{a}\) (\(t^{2}\) - at)dt + ∫_\(a^{1}\) (\(t^{2}\) - at)dt
= -[\(t^{3}\)/3 - a\(t^{2}\)/2]_\(0^{a}\) + [\(t^{3}\)/3 - a\(t^{2}\)/2]_\(a^{1}\)
= -\(a^{3}\)/3 + \(a^{3}\)/2 + \(\frac{1}{3}\) - \(\frac{a}{2}\) - \(a^{3}\)/3 + \(a^{3}\)/2
= \(a^{3}\)/3 - \(\frac{a}{2}\) + \(\frac{1}{3}\)
よって
2\(a^{3}\) - 9a + 2 = 0
(a - 2)(2\(a^{2}\) + 4a - 1) = 0
a = 2, (-2 \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)6)/2
0 ≦ a ＜ 1 より a = (-2 + \(\sqrt{\quad}\)6)/2.

iii) a ≧ 1 の時
a = -∫_\(0^{1}\) (\(t^{2}\) - at)dt
= -\(\frac{1}{3}\) + \(\frac{a}{2}\)
\(\frac{a}{2}\) = -\(\frac{1}{3}\)
a = -\(\frac{2}{3}\) (不適).

以上より a = = (-2 + \(\sqrt{\quad}\)6)/2.

\int[0..1]|f(t)|dt=C と置くと、C>=0 である。このとき f(x)=\(x^{2}\)-Cx となる。
(i) 0<=C<1 のとき、
\int[0..1]|f(t)|dt=-\int[0..C]f(t)dt+\int[C..1]f(t)dt=\(C^{3}\)/3-\(C^{2}\)/2+\(\frac{1}{3}\)
となり、これがCに等しいことから、\(C^{3}\)/3-(\(\frac{3}{2}\))\(C^{2}\)+\(\frac{1}{3}\)=0 で、
これを因数分解すると (C-2)(2\(C^{2}\)+4C-1)=0 となる。C=sqrt(6)/2-1 が適する。
(ii) C>=1 のとき、
\int[0..1]|f(t)|dt=-\int[0..1]f(t)dt=C/2-\(\frac{1}{3}\) となり、
これがCと等しくなることはない。
以上より、C = sqrt(6)/2-1 ...(答)