\(x^{3}\)-4\(x^{2}\)+5x=mx の根は、x=0, 2+-sqrt(m-1) だから、
1<m<5 のときに正の異なる2点で交わる。
曲線Cと直線Lとで囲まれる2つの領域は、直線Lの同じ側に来ることはないから、
u:=2+sqrt(m-1) と置いて、I=\int[0..u]f(x)dx=0 であればよい。
F(0)=0となるような f(x) の原始関数 F(x) を選ぶと、
F(x)=(\(x^{2}\)-4x+5-m)(\(x^{2}\)/4-\(\frac{x}{3}\)-(3m+1)/12)+(\(\frac{4}{3}\))(1-m)x+(3m+1)(5-m)/12
となる。I=F(u) であるが、\(u^{2}\)-4u+5-m=0 だから、
I=(\(\frac{4}{3}\))(1-m)u+(3m+1)(5-m)/12 である。
これが0に等しくなるようなmを求める。
(\(\frac{4}{3}\))(1-m)(2+sqrt(m-1))+(3m+1)(5-m)/12=0 すなわち、
32(1-m)+(3m+1)(5-m)=-16(1-m)sqrt(m-1) で、両辺を二乗して差を取れば、
(32(1-m)+(3m+1)(5-m)\()^{2}\)-256(m-1\()^{3}\)=0 である。これを因数分解すると、
(9m-13)(m-5\()^{3}\)=0 となり、m=\(\frac{13}{9}\) が候補で、これは確かに題意を満たす。
m = \(\frac{13}{9}\) ...(答)
二交点の座標はmの値を代入して x,f(x) を計算してください。