お久しぶりです。
未解決問題を解いたので解答を送ります。
まず初めに、問題に誤りがあると思われます。
点Pの定義は対角線AGと平面BCDの交点ではなく、
おそらく対角線AGと平面BDEの交点でしょう。
僕が問題を作成するなら、このように定義します。
そこで、この定義のもとで問題を解きます。

(1)vecAG = vecAB+vecBC+vecCG
= vecAB+vecAD+vecAE
= veca+vecb+vecc
(2)点Pは平面BDE上にあるので、
vecAP = αvecAB+βvecAD+γvecAE ただしα+β+γ=1
とおける。一方、点Pは対角線AG上にあるので、(1)より
vecAP = kvecAG
= kveca + kvecb + kvecc
とおける。
係数比較して、α=β=γ=k=\(\frac{1}{3}\) と求まる。
ゆえに、
vecAP = \(\frac{1}{3}\)veca+\(\frac{1}{3}\)vecb+\(\frac{1}{3}\)vecc
(3)点Qは平面CMN上にあるので、
vecAQ = αvecAC+βvecAM+γvecAN ただしα+β+γ=1
とおける。
vecAC = veca + vecc
vecAM = \(\frac{1}{2}\)veca + vecb
vecAN = \(\frac{1}{2}\)vecb + vecc
であるから、代入して整理すると、
vecAQ = (α+\(\frac{1}{2}\)β)veca + (β+\(\frac{1}{2}\)γ)vecb + (α+γ)vecc
と表せる。一方、点Pは対角線AG上にあるので、
vecAP = kvecAG
= kveca + kvecb + kvecc
とおける。
係数比較して、α=\(\frac{1}{3}\),β=\(\frac{4}{9}\),γ=\(\frac{2}{9}\),k=\(\frac{5}{9}\)と求まる。 ゆえに、
vecAP = \(\frac{5}{9}\)veca+\(\frac{5}{9}\)vecb+\(\frac{5}{9}\)vecc