a1=1,an+1=2an-3で定義された漸化式の一般項を求める問題について、
a1=1,a2=-1,a3=-5,a4=-13,...より、
数列{an}の階差数列が-2,-4,-8,...なのでan=3-\(2^{n}\)となることが予想される。
逆にan=3-\(2^{n}\)を元の漸化式に代入すると等式が成り立つのでan=3-\(2^{n}\)である。
という解答をかいたら正解ですか？
a1=1,an+1=2an-3で定義された漸化式の一般項を求める問題について、
a1=1,a2=-1,a3=-5,a4=-13,...より、
数列{an}の階差数列が-2,-4,-8,...なのでan=3-\(2^{n}\)となることが予想される。
逆にan=3-\(2^{n}\)を元の漸化式に代入すると等式が成り立つのでan=3-\(2^{n}\)である。
という解答をかいたら正解ですか？
ｘ^2－２ｘ－３＝０の解がｘ＝３と予想してから、
与式に代入すると、等式が成り立つので、解はｘ＝３と答えると、
ｘ＝－１が困ってしまう。
普通、因数分解して、（ｘ－３）（ｘ＋１）＝０∴ｘ＝３，－１
この漸化式の問題は、次のようにして解きます。
１，－１，－５，－１３，………
∨ ∨ ∨
－２ －４ －８
∨ ∨
×２ ×２
階差数列は等比数列なので、ｂｎ＝（－２）・２^(n-1)
もとの数列の一般項は、
n-1 n-1
ａｎ＝１＋Σ ｂｋ＝１＋Σ （－２）・２^(k-1)
k=1 k=1
（－２）｛２^(n-1)－１｝
＝１＋――――――――――――＝１－２^n＋２
２－１
＝３－２^n ………（答）
（別解）
漸化式ａn+1＝２ａｎ－３より
数列ａｎの極限値をｘとおくと、
ｘ＝２ｘ－３
∴ｘ＝３
漸化式の両辺から極限値の３を引くと、
ａn+1－３＝（２ａｎ－３）－３
＝２ａｎ－３－３
＝２ａｎ－６
＝２（ａｎ－３）
ａｎ－３＝ｂｎとおくと、
ｂn+1＝２ｂｎ
公比２
ａ１－３＝ｂ１
初項ｂ１＝１－３＝－２
∴ｂｎ＝（－２）・２^(n-1)
ａｎ＝ｂｎ＋３より、
∴ａｎ＝（－２）・２^(n-1)＋３
＝－２^n＋３………（答）