どのようにやるのでしょうか？
真円と真円との交点の求め方がヒントになるような気がする
ので、お知らせ下さい。

座標平面では、
　　円（真円）は、(x-p\()^{2}\)+(y-q\()^{2}\)=\(r^{2}\)
　　楕円は(x-s\()^{2}\)/\(a^{2}\)+(y-t\()^{2}\)/\(b^{2}\)=1
と表せる。この連立方程式を解いて、共有点の座標を求めた
い、という意味の問いだとすると、
次のようにして、解くことができる。

（１）この２つの方程式から\(y^{2}\)を消去する。
（２）（１）で得られた方程式は、\(x^{2}\)、x、y、定数の４項か
らなる。これをyについて解く
（３）（２）で得られた方程式をはじめの円の方程式に代入
すると、xの４次方程式が得られる
（４）（３）の方程式を解く（高校レベルの問題ならばたい
てい因数定理で解ける問題である。
一般的には４次方程式の解の公式があるので、それを用いれ
ば解くことができる。）

　この方法は円と円の連立方程式を解くのと基本的に同じ方
法である。
質問が一般的な形なのでこれ以上答えようがないが、もし、
具体的に円や楕円の方程式が与えられれば、更に説明をした
い。
　なお、武田先生の図は共有点２個の場合だが，最大で共有
点は４個の場合がある。したがって、これは４次方程式の問
題に帰着する。