ｘｙｚ空間においてｙｚ平面上の双曲線ｙ^2-ｚ^\(\frac{2}{2}\)＝１をｚ軸のまわりに
１回転してできる回転体Ｑと２平面ｚ＝ｙ＋１及びｚ＝ｙ－１によって囲まれる
立体図形をＫとする。
（１）回転体Ｑ上の点をＰ（ｘ、ｙ、ｚ）とする時、ｘ＾2＋ｙ＾2を
ｚで表せ。
（２）平面ｚ＝ｙ＋ｔ（－１≦ｔ≦１）をαとし、回転体Ｑの方程式と
平面αの方程式からｚを消去することによって、平面αによるＫの切り口の
ｘｙ平面上への正射影の周の方程式および正射影の面積を求めよ。
（３）平面αによるＫの切り口の面積Ｓ（ｔ）を求めよ。
（４）Ｋの体積Ｖを求めよ。
学校の課題で出たのですが解けません。
お願いします。
(1)\(y^{2}\)-\(z^{2}\)/2=1より、\(y^{2}\)=1+\(z^{2}\)/2これは、回転体の半径である。
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=1+\(z^{2}\)/2となる。
(2)z=y+tを(1)の結果に代入する。\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=1+(y+t\()^{2}\)/2これを変形すると
\(x^{2}\)+(y-t\()^{2}\)/2=1+\(t^{2}\)/2となる。
これは、長径が2\(\sqrt{\quad}\)2\(\sqrt{\quad}\)(1+\(t^{2}\)/2),短径が、2\(\sqrt{\quad}\)(1+\(t^{2}\)/2)の楕円の方程式である。
面積はπ\(\sqrt{\quad}\)2\(\sqrt{\quad}\)(1+\(t^{2}\))\(\sqrt{\quad}\)(1+\(t^{2}\)/2)=π(\(\sqrt{\quad}\)2)(1+\(t^{2}\)/2)
(3)S(t)を４５度の角度でxy平面に射影するとπ(\(\sqrt{\quad}\)2)(1+\(t^{2}\)/2)
S(t)cos(45°)=π(\(\sqrt{\quad}\)2)(1+\(t^{2}\)/2)
S(t)=2π(1+\(t^{2}\)/2)
(4)体積V=∫S(t)(cos45°dt)=∫π(\(\sqrt{\quad}\)2)(1+\(t^{2}\)/2)dt=3π\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{7}\)
偶然見つけたのですが、
質問＜１４７９＞２００３／１１／８
の解答が違うと思います。
（１）はあっていると思うのですが、
（２）（３）（４）の解答が違うと思います。
（２） \(x^{2}\)+(y-t\()^{2}\)/2 = 1+\(t^{2}\)
π(\(\sqrt{\quad}\)2)(1+\(t^{2}\))
（３） S(t)=2π(1+\(t^{2}\))
（４） (8π\(\sqrt{\quad}\)2)/3
僕もこの問題をやったことがあります。
東京理科大の過去問だったと思います。