外積 (×, cross product) というものは三次元固有のもので,
他の次元では定義されません。
http://planetmath.or\(\frac{g}{e}\)ncyclopedia/CrossProduct.html

敢えて他の次元に拡張しようとすれば Hodge *-operator
http://planetmath.or\(\frac{g}{e}\)ncyclopedia/HodgeStarOperator.html
というものを使えば, 次のように考えれば拡張といえば拡張になります。
先ず, A = (a1, ..., an), B = (b1, ..., bn) は
a1dx1 + … + andxn, b1dx1 + … + bndxn
のことだと見なします。そして
*(A∧B)
(∧ は外積代数 exterior product, wedge product
http://planetmath.or\(\frac{g}{e}\)ncyclopedia/ExteriorAlgebra.html) を考えると,
A と B が三次元の時, 丁度これは A×B と一致していますので,
拡張と思うことが出来ます。
　但し, n 次元の場合, これは *(2-form) だから (n - 2)-form に
なってしまいます。
三次元の場合は 3 - 2 = 1 だから丁度普通の vector に戻って来ます
が, それ以外では戻って来ません。