△ABCの辺ABの中点をMとし、
辺BC、CAを1辺として三角形の外側に正方形BCDE、ACFGをつくると、
MC=\(\frac{１}{2}\)DFかつMC⊥DFであることを、
証明してください。
よろしくお願いします。
△ABCの辺ABの中点をMとし、
辺BC、CAを1辺として三角形の外側に正方形BCDE、ACFGをつくると、
MC=\(\frac{１}{2}\)DFかつMC⊥DFであることを、
証明してください。
よろしくお願いします。
Mを原点とする直交座標系を取ります(以下ＭをＯに置きかえることにします)。
ａ＞０、ｑ＞０と仮定する。
Ａ(－ａ，0)，Ｂ(ａ，0)，Ｃ(ｐ，ｑ)とします。
－→ －→
ＣＡ＝（－ａ－ｐ，－ｑ），ＣＢ＝（ａ－ｐ，－ｑ）であ
－→ －→
るので，ＣＦ＝（－ｑ，ａ＋ｐ），ＣＤ＝(ｑ，ａ－ｐ)になります
(複素数を使ってＣを中心とする\(\pm\)９０°の回転を考えるなどしてください。
ちなみに(ｘ，ｙ)を原点中心に\(\pm\)９０°回転させると\(\pm\)（－ｙ，ｘ）に移ります）。
－→ －→ －→
故にＤＦ＝ＣＦ－ＣＤ＝（－２ｑ，２ｐ）より，
－→ －→
ＤＦ・ＯＣ＝０を得るのでＤＦ⊥ＯＣ(問題文中の表現では
－→
ＤＦ⊥ＭＣ） また，｜ＤＦ｜＝２｜（‐ｑ，ｐ）｜
－→
＝２｜（ｐ，ｑ）｜＝２｜ＯＣ｜より,ＯＣ＝(１／２)ＤＦ
(問題文中の表現ではＭＣ＝（１／２）ＤＦ）