はじめまして、お会いできてうれしいです。僕は一人で勉強
している者です。なので解説読んでもわからん問題にぶち当
たると困りはてます。よろしくお願いします。
原点Ｏ周りにθだけ回転すると、点、曲線は次のようになる。
証明せよ。
P(x,y) --> Q(xcosθ - ysinθ , xsinθ+ ycosθ)
F(x,y)=0 --> F(xcosθ + ysinθ , -xsinθ+ ycosθ)=0
(証明)
OPとx軸の正方向とのなす角をAとし、Q（X,Y)とすると、
x＝OPcosA, y＝OPsinA ....（１） また、
X＝OQsin(θ+ A)＝OQ(cosθcosA - sinθsinA)
Y＝OQsin(θ+ A)＝OQ(sinθcosA + cosθsinA)
ゆえに、OP＝OQ 、（１）より cosA,sinA を消去
X＝xcosθ - ysinθ
Y＝xsinθ + ycosθ
Q(xcosθ- ysinθ , xsinθ + ycosθ)
点はわかるんですけど、次の曲線がさっぱりわかりません
曲線F(x,y)＝0上の点P(X,Y)を原点の周りにθだけ回転した点
をQ(x,y)とするとPはQを原点の周りに-θだけ回転した点であ
るから
X＝xcos(-θ) - ysin(-θ)＝xcosθ + ysinθ
Y＝xsin(-θ) + ycos(-θ)＝-xsinθ+ ycosθ
F(X,Y)＝0から F(xcosθ + ysinθ , -xsinθ + ycosθ)=0
この証明でなぜ、最後の1行のような結論がでるのでしょうか？
曲線F(x,y)＝0上の点P(X,Y)を原点の周りにθだけ回転した点
をQ(x,y)とするとPはQを原点の周りに-θだけ回転した点であ
るから
X＝xcos(-θ) - ysin(-θ)＝xcosθ + ysinθ
Y＝xsin(-θ) + ycos(-θ)＝-xsinθ+ ycosθ
F(X,Y)＝0から F(xcosθ + ysinθ , -xsinθ + ycosθ)=0
この説明の部分を次のように書き直してみよう。
曲線F(x,y)＝０を原点の周りにθだけ回転した曲線を局所座
標を利用して表すと、F(X,Y)＝０となる。
F(X,Y)＝０上の点ＱをXY局所座標でQ(X,Y)と表し、もとのxy
直角座標でQ(x,y)と表すとする。
図より、関係式
x＝Xcosθ－Ysinθ
y＝Xsinθ＋Ycosθ
がえられる。
これをX,Yについて変形して、
X＝xcosθ＋ysinθ
Y＝－xsinθ＋ycosθ
したがって、XY局所座標表示の曲線F(X,Y)＝０に代入すると、
xy直角座標表示の曲線となる。
F(xcosθ＋ysinθ ,－xsinθ＋ycosθ)＝０
したがって、もとの曲線F(x,y)＝０が原点の回りのθ回転し
てできた曲線の方程式が
F(xcosθ＋ysinθ ,－xsinθ＋ycosθ)＝０
となる。