logx(y+2x) は 底が x と判断すればよいのでしょうか？
混乱しないように、log_(x) (y+2x)　と書いて説明します。

（１） log_(x) (y+2x)>log_(x) \(x^{2}\) より
　　　 0＜x＜1 では y+2x＜\(x^{2}\) つまり、y＜\(x^{2}\)-2x=(x-1\()^{2}\)-1
　　　　 1＜x では y+2x>\(x^{2}\) つまり、y>\(x^{2}\)-2x
　　　　また、真数条件より y+2x>0 つまり y>-2x
　　　　y=\(x^{2}\)-2x と y=-2x は x=0 で接することに注意して図示すればよい。
（２）y-ax=k とおくと、y=ax+k　であり、また a>0 より傾きが正の直線が
　　　（１）の領域と共有点を持つのは、(1,-2) を通り y=\(x^{2}\)-2x と接する場合
　　　で、場合分けされる。
　　　(1,-2) を通り y=\(x^{2}\)-2x と接するのは、放物線の対称性より (-2,0) で
　　　接するとき、つまり a=2 のとき
　　　よって、
　　　 a>=2 のとき y-ax が最小となるのは (1,-2) を通るときの -2-a である
　　　から -2-a＜=y-ax
　　　 0＜a＜2 のときは、(1,-2) より先に、1＜x の y>\(x^{2}\)-2x と共有点をもつ。
　　　 　　1＜x の y>\(x^{2}\)-2x と y=ax+k が接するのは、D を利用して
　　　　　　k=-(a+2\()^{2}\)/4 のときとなる。
　　　　　　よって、-(a+2\()^{2}\)/4＜=k

いつも通り、論理の展開のみを参照下さい。
書きながら暗算で解いていますので、計算には全く自信がありません。