①ａ＜０のとき、ａ＋ａ分の１≦ー２を証明せよ。
また、等号成立はａについてどのような条件が必要か？
②ａ＋b分のa－b＝ｃ＋ｄ分のｃ－ｄ⇒ｂ分のａ＝ｄ分のｃを証明せよ。
ただし、ｂ≠０、ｄ≠０であるとする。
③３分のａ＋ｂ＋ｃ≧\(\sqrt{\quad}\)３分のａｂ＋ｂｃ＋ｃａが成立することを証明せよ。
④ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０かつabc＝２のとき、
（a＋b）(b＋c）(c＋a）≧１６が成立することを証明せよ
⑤｜a＋b｜≦｜a｜＋｜b｜が成立することを証明せよ。
また、等号成立にはa、bについてどんな条件が必要か？？
⑥｜a｜≦｜a－b｜＋｜b｜を証明せよ。
⑦a、bが正の数の時、a＋b分の２＋２a＋２bの最小値を求め、
その時のa、bについての条件式を書け。
⑧x＞１のとき、x＋xー１分の１の最小値を求めよ。
⑨x＞０のとき、x＋x分の１分の１の最大値を求めよ。
⑩｜a｜＜１、｜b｜＜１の時、次の不等式を証明せよ。
｜a－b｜＋｜a＋b｜＜２
①b=-aとおけばb>0ですね。
bと\(\frac{1}{b}\)について相加平均>=相乗平均を使えばb+\(\frac{1}{b}\)>=2。
両辺に-1をかけるとa+\(\frac{1}{a}\)＜=-2になります。
等号はa=-1のときですね。
②条件から(a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)ですね。
展開して整理すると、ad=bcとなります。
つまり\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)
③～⑩もあったんですねぇ。間違ってたらすみません（笑
③3(a+b+c\()^{2}\)-(ab+bc+ca)=3(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\))+5(ab+bc+ca)
=2(a+b+c\()^{2}\)+\(\frac{1}{2}\)[(a+b\()^{2}\)+(b+c\()^{2}\)+(c+a\()^{2}\)]>=0
④相加平均と相乗平均の関係から
(a+b)(b+c)(c+a)>=2\(\sqrt{\quad}\)ab×2\(\sqrt{\quad}\)bc×2\(\sqrt{\quad}\)ca=8(\(\sqrt{\quad}\)abc\()^{2}\)=16
(∵abc=2)
⑤|a+b|^2-(|a|+|b|\()^{2}\)=2ab-2|ab|＜=0
⑥(|a|-|b|\()^{2}\)-|a-b|^2=-2|ab|+2ab＜=0
⑦相加平均と相乗平均で
2/(a+b) + 2a+2b=2[1/(a+b) + (a+b)]>=2×2\(\sqrt{\quad}\)(a+b)/(a+b)=4 ∴最小値4
等号は1/(a+b)=(a+b)つまり(a+b\()^{2}\)=1のとき
⑧x>1よりx-1>0 相加平均と相乗平均で
x + 1/(x-1) = (x-1) + 1/(x-1) + 1>=2\(\sqrt{\quad}\)(x-1)/(x-1)+1=3 ∴最小値3
⑨これも相加平均と相乗平均で
x + \(\frac{1}{x}\) >=2 その逆数だから、最大値 \(\frac{1}{2}\)
⑩これはあまり自信がありませんが・・・
-1＜a＜b＜1のとき
-1＜a＜0＜b＜1かつ|a|＜|b|のとき・・・以下略・・で
場合分けするしかないのかなぁ・・・
なんかもっとエレガントにいけそうですが・・・