方法としては、４つあると思います。

１つ目は、関数電卓を利用する方法です。私の勤める工業高
校では、数学の時間はいつでも使って良いことにしています。
もし、差し障りがなければこれが一番でしょう。

２つ目は、開平算という２乗根を求める方法です。大変です
が、小数何位まででも求められます。詳しくは、ここの質問
４７に計算方法が書いてありますので参照して下さい。ただ
し、３乗根には使えません。つまり、（１）（３）は解ける
けど、（２）は解けません。

３つ目は、常用対数表を利用するやり方です。（２）を解い
てみましょう。
3
Ｘ＝ \(\sqrt{\quad}\)（１０００００）　とおく。
ｌｏｇＸ＝（１／３）・ｌｏｇ１０００００
　　　　＝（１／３）・５
　　　　＝５／３
　　　　＝１．６６６６・・・
常用対数表より、
Ｘ＝４６．４１・・・
あれ、このやり方では小数４位まで求めるのは難しそうです
ね。

４つ目は、簡単になるまで変形してから計算する方法です。
（１）を解いてみましょう。
\(\sqrt{\quad}\)（９７６０００）＝\(\sqrt{\quad}\)（２⁷・５³・６１）
　　　　　　　　　＝２³・５・\(\sqrt{\quad}\)（２・５・６１）
　　　　　　　　　＝４０\(\sqrt{\quad}\)６１０
この方法も、最後は関数電卓か、開平算に頼らなくてはなり
ません。

以上４つについて考察してきましたが、小数４位まで求める
のは関数電卓以外は難しそうですね。
こんな結論ではいけませんか？

関数電卓や開平算に頼らなくて、さらに３乗根も解ける方法
はないかと調べていたら、ニュートン法というのがありまし
た。

関数ｙ＝ｆ（ｘ）の点（ｘ₁，ｆ（ｘ₁））における
接線の方程式は、
ｙ－ｆ（ｘ₁）＝ｆ′（ｘ₁）（ｘ－ｘ₁）
だから
この接線とｘ軸が交わる点のｘ座標をｘ₂とすると、
ｙ＝０より
０－ｆ（ｘ₁）＝ｆ′（ｘ₁）（ｘ₂－ｘ₁）
ｘ₂－ｘ₁＝－ｆ（ｘ₁）／ｆ′（ｘ₁）
ｘ₂＝ｘ₁－ｆ（ｘ₁）／ｆ′（ｘ₁）
これを繰り返していくと、数列の漸化式ができる。
ｘ_n+1＝ｘ_n－ｆ（ｘ_n）／ｆ′（ｘ_n）

したがって、ｘ_n+1はだんだんｆ（ｘ）＝０の解ｘに
近づいていく。
これを利用して、平方根や３乗根を求めることができる。

平方根\(\sqrt{\quad}\)ａは、
ｆ（ｘ）＝ｘ²－ａより
ｆ′（ｘ）＝２ｘ
ｘ_n+1＝ｘ_n－（ｘ_n²－ａ）／（２ｘ_n）
　　　＝（ｘ_n＋ａ／ｘ_n）／２
これを利用して質問を解いてみると、

１）\(\sqrt{\quad}\)９７６０００
ａ＝９７６０００、ｘ₁＝１０００とする。
１０００は２乗するとａに近いから
ｘ₂＝（１０００＋９７６０００／１０００）／２
　　　＝９８８
ｘ₃＝（９８８＋９７６０００／９８８）／２
　　　≒９８７．９２７１２５
ｘ₄＝（９８７．９２７１２＋９７６０００／９８７．９２７１２）／２
　　　≒９８７．９２７１２２
∴\(\sqrt{\quad}\)９７６０００＝９８７．９２７１（小数第４位）

３）\(\sqrt{\quad}\)０．８８４４
ａ＝０．８８４４、ｘ₁＝１とする。
１は２乗するとａに近いから
ｘ₂＝（１＋０．８８４４／１）／２
　　　＝０．９４２２
ｘ₃＝（０．９４２２＋０．８８４４／０．９４２２）／２
　　　≒０．９４０４２７
ｘ₄＝（０．９４０４２７＋０．８８４４／０．９４０４２７）／２
　　　≒０．９４０４２５
∴\(\sqrt{\quad}\)０．８８４４＝０．９４０４（小数第４位）

３乗根3\(\sqrt{\quad}\)ａは、
ｆ（ｘ）＝ｘ³－ａより
ｆ′（ｘ）＝３ｘ²
ｘ_n+1＝ｘ_n－（ｘ_n³－ａ）／（３ｘ_n²）
　　　＝（２ｘ_n＋ａ／ｘ_n²）／３
より
3
２） \(\sqrt{\quad}\)１０００００
ａ＝１０００００、ｘ₁＝５０とする。
５０は３乗するとａに近いから
ｘ₂＝（２×５０＋１０００００／５０²）／３
　　　≒４６．６６６６６６
ｘ₃＝（２×４６．６６６６６６＋１０００００／４６．６６６６６６²）／３
　　　≒４６．４１７２３３
ｘ₄＝（２×４６．４１７２３３＋１０００００／４６．４１７２３３²）／３
　　　≒４６．４１５８８８
ｘ₅＝（２×４６．４１５８８８＋１０００００／４６．４１５８８８²）／３
　　　≒４６．４１５８８８
∴³\(\sqrt{\quad}\)１０００００＝４６．４１５９（小数第４位）