α、βは複素数で｜α｜＝１とするとき、
１次式f(z)=αZ＋βの全体をGとする。
Gの２つの要素f(z)оg(z)＝f(g(Z))と定義する。
Gは演算оに関して群になるか。
群の定義に従って答えよ。
α、βは複素数で｜α｜＝１とするとき、
１次式f(z)=αZ＋βの全体をGとする。
Gの２つの要素f(z)оg(z)＝f(g(Z))と定義する。
Gは演算оに関して群になるか。
群の定義に従って答えよ。
f(z)=a1z+b1,g(z)=a2z+b2,h(z)=a3z+b3とする。
（１）
g*h(z)=a2(a3z+b3)+b2=a2a3z+(a2b3+b2)
|a2a3|=|a2||a3|=1だから、積についてとじている。
（２）
f*(g*h)(z)=a1(a2a3z+a2b3+b2)+b1=a1a2a3z+(a1a2b3+a1b2+b1)
(f*g)*h(z)=a1a2(h(z))+(a1b2+b1)=a1a2(a3z+b3)+(a1b2+b1)
=a1a2a3z+(a1a2b3+a1b2+b1)
よって、結合法則が成り立つ。
w=f(z)=a1z+b1とする。
（３）
(\(\frac{1}{a}\)1)w-b\(\frac{1}{a}\)1=zとなる。|\(\frac{1}{a}\)1|=\(\frac{1}{1}\)=1
よって、逆元f^(-1)(w)=(\(\frac{1}{a}\)1)z-b\(\frac{1}{a}\)1が存在する。
だから、Gは群になる。