f(x)=∫cos(t)dt(0＜t＜x)とおく。
f(0)=0
f'(x)=cos(x),f'(0)=cos(0)=1
f''(x)={cos(x)}',f''(0)=0
f'''(x)={cos(x)}''=-cos(x),f'''(0)=-1
だから、f''(x)=∫{-cos(t)}dt(0＜t＜x)となる。
　　　　　　　=-∫cos(t)dt
=-f(x)
だから、（線形微分方程式の解の一意性より）
f(x)=sin(x)
{sin(x)}'=cos(x),{cos(x)}'=-sin(x)

(1)
{co\(s^{2}\)(x)+si\(n^{2}\)(x)}'=2cos(x){-sin(x)}+2sin(x)cos(x)=0
だから、co\(s^{2}\)(x)+si\(n^{2}\)(x)=定数
co\(s^{2}\)(0)+si\(n^{2}\)(0)=1+0=1
よって、co\(s^{2}\)(x)+si\(n^{2}\)(x)=1 終

(2)
(\(d^{2}\)/d\(A^{2}\))cos(A+B)=-cos(A+B),
(\(d^{2}\)/d\(A^{2}\)){cosAcosB-sinAsinB}=-{cosAcosB-sinAsinB}
証明すべき式の左辺も右辺も、A=0のとき、cosB
１階微分の値が、A=0のとき、-sinB
線形微分方程式の解の一意性より
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBとなる。
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBも同様。