式変形すると、
(m-1)(m+1) = \(2^{n}\)
なので、m-1 も m+1 も 2 の冪でなければならない。
すなわち s>t, \(2^{s}\)-\(2^{t}\)=2 で、\(2^{t}\)(2^(s-t)-1)=2 なので、
t は 0 か 1 でなければならない。
t=0 のとき、\(2^{s}\)-1=2 となり、このような整数 s は存在しない。
t=1 のとき、2^(s-1)-1=1 で、s=2 となる。
よって (m,n)=(3,3) のみ。

ｍ＋１かつｍ－１が２の　べき　にならなければいけない所までは
わかりましたが、
その次に　２＾ｓ－２＾ｔ＝２　がなぜ出てくるのかがわかりません。
説明をお願いいたします。

これはtetsuyaさんからお答え頂くのがいいのでしょうが、
僕もこの問題には興味があって、結局解けませんでした（笑
それで、さしでがましいのですが、「なるほど」と思いましたので、
参加させてください。

m+1 も m-1も2のべき乗のなるのですから
m+1=\(2^{t}\) m-1=\(2^{s}\) とおけます。
当然t>sになります。
ここでmを消そうとすると
\(2^{t}\)-\(2^{s}\)とすればいいわけです。
(m+1)-(m-1)=2 ですから・・
つまり \(2^{t}\)-\(2^{s}\)=2になります・・・
ここにはなかなか気づきませんでした
あとはtetsuyaさんの書いたとおりです。