f(x+2h) = 2f(x+h)-(1+\(h^{2}\))f(x)
のように変形するとちょっとは漸化式っぽいかな？

せっかくなのでJavaで可視化したプログラムを書いてみました。
コンパイルしてコンソールから
java main (h の値)
とやれば、真の解である y=sin(x) と、上記差分方程式の解をプロットします。
h を小さくすれば小さくするほど真の解に近づきます。h=0.001くらいになると
一周期分くらいでは見た目ではほとんど差が出ません。

以下、プログラムリスト。

// f(x+2h) = 2f(x+h)-(1+\(h^{2}\))f(x)

import java.awt.*;

class main {
public static void main(String[] args) {
if (args.length ＜= 0) return;
double h = java.lang.Double.parseDouble(args[0]);
Frame f = new Frame();
MyCanvas c = new MyCanvas(h);
c.setSize(800,600);
f.add(c, "South");
f.setBackground(Color.white);
f.setForeground(Color.black);
f.pack();
f.show();
}
}
class MyCanvas extends Canvas {
double h;

MyCanvas(double d) {
h = d;
}

public void paint(Graphics g) {
for (int i=0; i＜8000; i++) {
double p = \(\frac{i}{1000}\).0;
double q = Math.sin(p);
putPixel(g,Color.green,p,q);
}

// Initial Conditions: f(0)=0, f(h)=h
double p2 = 0.0, p1 = h, p0;
// Second-Order Differencial
for (double t=2*h; t＜8; t+=h) {
p0 = 2*p1-(1+h*h)*p2;
putPixel(g,t,p0);
p2 = p1;
p1 = p0;
}
}

void putPixel(Graphics g, Color c, double p, double q) {
int x = (int)(p*100);
int y = 300-(int)(q*100);
g.setColor(c);
g.drawLine(x,y,x,y);
}
void putPixel(Graphics g, double p, double q) {
putPixel(g,Color.black,p,q);
}
}

（注）プログラム中の「＜」はすべて半角にしてください。（武田談）