a＜1の時 M(a)=|1-3\(a^{2}\)|
a>1の時 M(a)=2\(a^{3}\)
これは違いますね。
では解答を

(1)
f(-x)=|(-x\()^{3}\)-3\(a^{2}\)(-x)|=|\(x^{3}\)-3\(a^{2}\)x|=f(x)だから
f(x)はy軸に対して対称である。
よって0≦x≦1に対して最大・最小を考えれば十分である。
g(x)＝\(x^{3}\)-3\(a^{2}\)xの
0≦x≦1の最大、最小を求めます。
g'(x)=3(\(x^{2}\)-\(a^{2}\))

a≧1のとき
g(x)は単調減少である。
g(x)の最大値は、g(0)=0、最小値はg(1)=1-3\(a^{2}\)

０＜a＜1のとき
　　　0　　　　　　a　　　　　　　　　1
g'(x)　　　-　　　　0　　　　+　　
g(x)　0　　減少　-2\(a^{2}\)　　　増加　　1-3\(a^{2}\)

よって
a≦1/\(\sqrt{\quad}\)3のとき
g(x)の最大値はg(1)=1-3\(a^{2}\)
g(x)の最小値はg(a)=-2\(a^{2}\)

1＞a＞1/\(\sqrt{\quad}\)3のとき
g(x)の最大値はg(1)=1-3\(a^{2}\)
g(x)の最小値はg(a)=-2\(a^{2}\)

よって
0＜a≦1/\(\sqrt{\quad}\)3のとき
f(x)=|g(x)|の最大値
f(a)=2\(a^{2}\)、f(1)=1-3\(a^{2}\)
f(a)-f(1)=2\(a^{2}\)-(1-3\(a^{2}\))=5\(a^{2}\)-1

0＜a≦1/\(\sqrt{\quad}\)5のとき
f(a)-f(1)≦0より
M(a)=1-3\(a^{2}\)

1/\(\sqrt{\quad}\)3≧a＞1/\(\sqrt{\quad}\)5のとき
f(a)-f(1)＞0より
M(a)=2\(a^{2}\)

1＞a＞1/\(\sqrt{\quad}\)3のとき
f(a)=2\(a^{2}\)、f(1)=1-3\(a^{2}\)
f(a)-f(1)=2\(a^{2}\)-(1-3\(a^{2}\))=5\(a^{2}\)-1＞0だから
M(a)=2\(a^{2}\)

a≧1のとき
M(a)=3\(a^{2}\)-1

まとめると

0＜a≦1/\(\sqrt{\quad}\)5のとき
M(a)=1-3\(a^{2}\)

1/\(\sqrt{\quad}\)5＜a＜1のとき
M(a)=2\(a^{2}\)

a≧1のとき
M(a)=3\(a^{2}\)-1

(2)　

a≧1のとき、M(a)=3\(a^{2}\)-1≧3-1=2
0＜a＜1のときM(a)≧\(\frac{2}{5}\)
よってM(a)の最小値は\(\frac{2}{5}\)である。

(1) 0＜a≦\(\frac{1}{2}\) のとき 1-3\(a^{2}\)
\(\frac{1}{2}\)＜a≦1 のとき 2\(a^{3}\)
1＜a のとき 3\(a^{2}\)-1
(2) \(\frac{1}{2}\)