-1≦a≦8

できれば途中の過程を教えていただけませんか？

f は実数全体で微分可能で、2\pi は周期なので、
[0,2\pi] の臨界値の最大値が 1 であればよい。
f(x) = cos(x)(1+a-(3\(\frac{a}{2}\))co\(s^{2}\)(x)),
f'(x) = 0 の必要十分条件 cos(x)=0 or (3\(\frac{a}{2}\))co\(s^{2}\)(x)=1+a.
cos(x)=0 のとき x=\p\(\frac{i}{2}\), f=1 or x=3\p\(\frac{i}{2}\), f=-1.
(3\(\frac{a}{2}\))co\(s^{2}\)(x)=1+a について。まず a=0 のときは解なし。
a!=0 のとき、co\(s^{2}\)(x) は [0,1] を動くから、
0 \le 2(1+a)/(3a) \le 1 が解を持つ必要十分条件。
これを解くと a \le -1, 2 \le a.
-1 \lt a \lt 2 のとき、解を持たないので、最大値は 1 となる。
[0,2\pi] の co\(s^{2}\)(x) と sin(x) のグラフを考えれば
わかるように、co\(s^{2}\)(x)=2(1+a)/(3a) をみたすとき、
sin(x) = \pm sqrt(1-2(1+a)/(3a)) で、両方の符号の
値を実際に取る。このとき、
f(x) = \pm ((2-a)/3)sqrt((a-2)/(3a))
なので、
|(2-a)/3|sqrt((a-2)/(3a)) \gt 1 ならば最大値は 1 より大きく、
この値が 1 以下ならば最大値は 1 ということになる。
(i) a \le -1 のとき、
|(2-a)/3|sqrt((a-2)/(3a)) = sqrt((a-2\()^{3}\)/(27a)) で、
g(a) = (a-2\()^{3}\)/(27a) と置くと、
g'(a) = (a+1)(a-2\()^{2}\)/(27\(a^{2}\)) で、
a \lt -1 のとき g'(a) \lt 0, g(-1)=1 なので、
a \lt -1 のとき g(a) \gt 1.
(ii) a \ge 2 のとき、
a \gt 2 のとき g'(a) \ge 0 で、g(8)=1 なので、
2 \le a \le 8 のとき g(a) \le 1 で、
8 \lt a のとき g(a) \gt 1.
以上より、最大値が 1 となるのは
-1 \le a \le 8
のときである。

過程を書いていただきありがとうございます。
さて、
\ は　×　でしょうか？
\le は　＜　でしょうか？
\gt は 　＞でしょうか？
\pmがなんだかわかりません。

また、
{1-(\(\frac{a}{2}\))*co\(s^{2}\)(x)}*sin(x)
から
cos(x)(1+a-(3\(\frac{a}{2}\))co\(s^{2}\)(x))
の変形の仕方がわかりません。よろしくお願いします。

変な記号の使い方ですね、すみません。
基本的に \ は、そのあとに続く文字とともに一つの記号を意味します。
\pi はギリシャ字のパイで、円周率を表します。
\le は小なりイコール。
\ge は大なりイコール。
\lt は小なり。
\gt は大なり。
\pm はプラスマイナス。
\mp はマイナスプラス。

あ、これは誤植ですね。
f'(x) = cos(x)(1+a-(3\(\frac{a}{2}\))co\(s^{2}\)(x))
(f(x) の導関数)が正しいです。失礼しました。