正三角形、二等辺三角形、直角三角形などのきれいな答えにならないので、
まったく自信ありませんが頑張ってみました（笑）
間違っていたらどなたか修正してください（笑）

解答

A(α),B(β),C(γ)の三点を-αだけ並行移動してみます。
つまり、A'(α-α)=O（原点）,B'(β-α),C'(γ-α)となります。
ここで、(β-α)/(γ-α)＝\(\sqrt{\quad}\)2(1＋i)より
(β-α)/(γ-α)=\(\sqrt{\quad}\)2・\(\sqrt{\quad}\)2(1/\(\sqrt{\quad}\)2+i・1/\(\sqrt{\quad}\)2)
=2(cos45°+ i・sin45°)となります。
両辺にγ-αをかけて
(β-α)=2(γ-α)(cos45°+ i・sin45°)
この式の意味は
B'はC'を原点の周りに45°回転させ大きさ（長さ）を2倍したところ
にある点であることを意味します。
従って
A'B'=2A'C' ∠C'A'B'=45°
A'C'=kとおくと、余弦定理から
(B'C'\()^{2}\)＝(A'B'\()^{2}\)+(A'C'\()^{2}\)-2(A'B')(A'C')cos45°
=4\(k^{2}\)+\(k^{2}\)-2・2k・k・\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{2}\)
=(5-2\(\sqrt{\quad}\)2)\(k^{2}\)
よって
△ABCはA\(B^{2}\):B\(C^{2}\):C\(A^{2}\)=4:(5-2\(\sqrt{\quad}\)2):1となる三角形となります。

こんなふうになってしまいました。
5-2\(\sqrt{\quad}\)2の平方根（二重根号）がはずせれば三辺の比が出ますけど、
できませんでした。仕方ないので三辺の２乗の比としました。
正解かどうか自信がありませんので、
どなたかアドバイスをお願いします（笑）