０×ｎＣ0＋１×ｎＣ1＋…ｎ×ｎＣｎの値の求め方

0×ｎＣ0＋１×ｎＣ1＋…ｎ×ｎＣｎは
R×ｎＣｒ＝n×(n-1)Ｃ(r-1)より
0×ｎＣ0＋１×ｎＣ1＋…ｎ×ｎＣｎ
＝１×ｎＣ1＋…ｎ×ｎＣｎ
＝n(ｎ-1Ｃ0＋ｎ-1Ｃ1+…+ｎ-1Ｃn-1)
＝n×\(2^{n}\)
ですね。

二項定理とフェルマーの定理との関連

たぶんこの場合の「フェルマーの定理」とは
「pを素数、kをpで割り切れない自然数とするとき、
k^(p-1)-1はpで割り切れる。」…※
という定理のことでしょうか。

二項定理をつかえば、
「pを素数、kを自然数とするとき、\(k^{p}\)-kはpで割り切れる。」…＊

ことが数学的帰納法で示せます。

証明

k＝1のとき

\(1^{p}\)－1＝１－１＝0はpで割り切れるので「＊」は正しい

k＝hのとき

「＊」は正しい、つまり\(h^{p}\)－hは素数pで割り切れると仮定する。

(h＋1\()^{p}\)－(h＋1)
＝\(h^{p}\)－h＋pC(p-1)×h^(p-1)+pC(p-2)×h^(p-2)+…+(pC1)×h

1≦r≦p-1なる任意のrに対して
pCr＝{p×(p-1)×…×(p-r+1)}/(1×2×…×r)
分子がpで割り切れる、かつ分母がpと互いに素なので
pCrはpで割り切れます。

よって、
pC(p-1)×h^(p-1)+pC(p-2)×h^(p-2)+…+(pC1)×hはpで割り切れます。

また帰納法の仮定より\(h^{p}\)-hはpで割り切れます。

よって、
(h＋1\()^{p}\)－(h＋1)
＝\(h^{p}\)－h＋pC(p-1)×h^(p-1)+pC(p-2)×h^(p-2)+…+(pC1)×h
もpで割り切れます。

k＝h+1のときも「＊」は正しい。

よって数学的帰納法により「＊」は正しい。

「＊」が正しければ、「※」が正しいことの証明

「＊」より\(k^{p}\)－k＝k×{k^(p－1)－1}はpで割り切れる。
kとpは互いに素だから、k^(p－1)－1はpで割り切れる。
よって「※」が正しいことが示された。