29 = 30 - 1
900 = 3\(0^{2}\)
を利用して、二項式展開により、
(30-1\()^{33}\) = (900の倍数) + 33*30 - 1
よって余りは 89 。

2\(9^{33}\)＝(30－1\()^{33}\)

二項定理で展開すると

(30－1\()^{33}\)
＝∑_[i=0,33](33_\(C_{i}\))(30\()^{i}\)*(-1)^(33-i)
＝∑_[i=2,33](33_\(C_{i}\))(30\()^{i}\)*(-1)^(33-i)+33*30-1

i≧2のとき(30\()^{i}\)は900＝(30\()^{2}\)で割り切れる
よって、
∑_[i=2,33](33_\(C_{i}\))(30\()^{i}\)*(-1)^(33-i)+33*30-1
＝900*(整数)+989
＝900*{(整数)+1}+89

よって2\(9^{33}\)を900で割った余りは89である。

29の33乗を900で割った余りということですが、
2\(9^{33}\)＝(30-1\()^{33}\)です。
また900=3\(0^{2}\)です。
このあたりに着目して、二項定理を利用してみます。
2\(9^{33}\)=(30-1\()^{33}\)
=33_\(C_{0}\)*3\(0^{33}\)+33_\(C_{1}\)*3\(0^{32}\)(-1)+33_\(C_{2}\)*3\(0^{31}\)(-1\()^{2}\)+.....
　......+33_\(C_{31}\)*3\(0^{2}\)(-1\()^{32}\)+33_\(C_{32}\)*30(-1\()^{32}\)+33_\(C_{33}\)*(-1\()^{33}\)
(3\(0^{2}\)でくくって)
3\(0^{2}\){33_\(C_{0}\)*3\(0^{31}\)+33_\(C_{1}\)*3\(0^{30}\)(-1)+33_\(C_{2}\)*3\(0^{29}\)(-1\()^{2}\)+.....
　......+33_\(C_{31}\)*(-1\()^{31}\)}+33_\(C_{32}\)*30(-1\()^{32}\)+33_\(C_{33}\)*(-1\()^{33}\)
3\(0^{2}\){ }の部分は900で割り切れます。
つまり残りの33_\(C_{32}\)*30(-1\()^{32}\)+33_\(C_{33}\)*(-1\()^{33}\)を計算してみると
33*30*(-1\()^{32}\)-1=990-1=989
これを900で割ると余りは89となります。