２ｘ　　　　　　２ｘ
――――＝――――――――――
ｘ^2－１　（ｘ＋１）（ｘ－１）

　　１　　　　　１
＝―――　＋　―――
　ｘ＋１　　　ｘ－１

　解答をみても、どうしてそうなったのか
　分かりませんでした。
　何も計算を省略しないで、過程を詳しくお願いします。
　何度もすみません。

分母を因数分解して、
　２ｘ　　　　　　２ｘ
――――＝――――――――――　………①
ｘ^2－１　（ｘ＋１）（ｘ－１）
因数分解された分母を２つに分けて、分子をそれぞれａ，ｂとする。
　ａ　　　　　ｂ
―――　＋　―――
ｘ＋１　　　ｘ－１
通分して、
　ａ（ｘ－１）＋ｂ（ｘ＋１）
＝―――――――――――――
　　（ｘ＋１）（ｘ－１）

　ａｘ－ａ＋ｂｘ＋ｂ
＝――――――――――
　（ｘ＋１）（ｘ－１）

　（ａ＋ｂ）ｘ＋（－ａ＋ｂ）
＝―――――――――――――　………②
　　（ｘ＋１）（ｘ－１）
①と②の分子を見比べて、連立をつくる。
ａ＋ｂ＝２
－ａ＋ｂ＝０

したがって、ａ＝１，ｂ＝１

問題の分数式は、次のように部分分数分解される。
　　１　　　　　１
＝―――　＋　―――
　ｘ＋１　　　ｘ－１

　なんか解答では、公式みたいなので解いてたんですが
　それでも出来るんですか？

これは公式と言うより、解法と言っていいでしょう。
部分分数分解は、このような解き方をします。