置換積分

∫（sin^(-1)x）^2dx
y=sin^(-1)xとおくと
x=siny
dx=cosydy
∫（sin^(-1)x）^2dx＝∫(\(y^{2}\)*cosy)dy

部分積分

∫(\(y^{2}\)*cosy)dy＝∫{\(y^{2}\)*(siny)'}dy＝\(y^{2}\)siny－2∫ysinydy

∫ysinydy＝∫y(-cosy)'dy＝-ycosy+∫cosydy＝-ycosy+sinyだから

\(y^{2}\)siny－2∫ysinydy＝\(y^{2}\)siny+2ycosy-2siny


y=sin^(-1)xとおくと
\(y^{2}\)siny+2ycosy-2siny
＝x{sin^(-1)x}^2＋2{sin^(-1)x}cos{sin^(-1)x}-2x+C
Cは積分定数

となります。

x=sin(t)とおく。dx=cos(t)dtだから、積分は
∫{sin^-1(sin(t))}^2*cos(t)dt
=∫\(t^{2}\)*cos(t)dt となるので、部分積分する。