y=\(x^{2}\)上に点T(t,\(t^{2}\))をとる
点Tにおけるy=\(x^{2}\)の接線：y=2tx-\(t^{2}\) ・・・①

T=Pとなる点(⇔y=\(x^{2}\)とy=3x+\(\frac{1}{2}\)の交点(点A,Bとおく))を求めておく
\(x^{2}\)-3x-\(\frac{1}{2}\)=0よりx=(3\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)11)/2であるから、
A((3+\(\sqrt{\quad}\)11)/2, 5+(3\(\sqrt{\quad}\)11)/2), B((3-\(\sqrt{\quad}\)11)/2, 5-(3\(\sqrt{\quad}\)11)/2)

[I]T≠Pのとき
直線PT：(t-p)(y-\(t^{2}\))=(\(t^{2}\)-q)(x-t) ・・・②
①と②が垂直であるとき、直線PTは点Tにおけるy=\(x^{2}\)の法線になる
直線①②の垂直条件より
2t(\(t^{2}\)-q) + (-1){-(t-p)} = 0 ⇔ 2\(t^{3}\)-6pt-p=0
ここで、f(t)=2\(t^{3}\)-6pt-pとおくと、tについての方程式f(t)=0の実数解
の個数が求める法線の本数となる
f'(t)=6\(t^{2}\)-6p
(1)p≦0のとき
f(t)は単調増加であるので、f(t)=0の実数解は1個
ただし、点Bにおける法線1本は除く
(2)p>0のとき
f(-\(\sqrt{\quad}\)p)=ａ, f(\(\sqrt{\quad}\)p)=ｂとおくと、増減表は以下のようになる
x | … | -\(\sqrt{\quad}\)p | … | \(\sqrt{\quad}\)p | …
---+----+------+----+------+----
f'| ＋ | ０ | － | ０ | ＋
---+----+------+----+------+----
f | ／ | ａ | ＼ | ｂ | ／
ここで、
ｂ=-p(4\(\sqrt{\quad}\)p +1) ＜0なので、
ａ=p(4\(\sqrt{\quad}\)p -1)の符号のみを調べればよい
ａ>0 つまり p>\(\frac{1}{16}\) のとき、f(t)=0の実数解は3個
ａ=0 つまり p=\(\frac{1}{16}\) のとき、f(t)=0の実数解は2個
ａ＜0 つまり 0＜p＜\(\frac{1}{16}\)のとき、f(t)=0の実数解は1個
ただし、p>\(\frac{1}{16}\)のうち、点Aにおける法線1本は除く
(1)(2)より、p＜\(\frac{1}{16}\)…1本(ただし、点Bにおける法線1本は除く)
p=\(\frac{1}{16}\)…2本
p>\(\frac{1}{16}\)…3本(ただし、点Aにおける法線1本は除く)
[II]T＝Pのとき
点A,Bにおけるy=\(x^{2}\)の法線はそれぞれ1本ずつ引ける

以上、[I][II]より、 p＜\(\frac{1}{16}\)…1本
p=\(\frac{1}{16}\)…2本
p>\(\frac{1}{16}\)…3本 …(答)