はじめまして。
数学からかなり遠ざかっていたため、基本的な問題の
ような気がするのですがどうしても解けません。
手元に資料もないので困っています。
お答えいただければ幸いです。
問題１．対角線が直交する台形ＡＢＣＤにおいて、
ＢＤ＝ａ、高さｈとするとき、この台形の
面積を求めよ。
問題２．ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）の
解の公式を導け。
問題３．長軸が２ａ、短軸が２ｂの楕円の面積を求めよ。
問題４．ｘ＾２－ｙ＾２＝１（－２≦ｙ≦２）をｙ軸を
中心に回転させてできる図形の体積を求めよ。
問１
ＡＤ／／ＢＣより、∠ＡＤＨ＝∠ＣＢＨ＝θ
ＢＤ＝ａをＢＨとＤＨに分け、ＤＨ＝ｘとおくと、
ＢＨ＝ａ－ｘ
△ＡＤＨにおいて、ｃｏｓθ＝ＤＨ／ＡＤより、
ＡＤ＝ＤＨ／ｃｏｓθ
＝ｘ／ｃｏｓθ……(1)
△ＣＢＨにおいて、ｃｏｓθ＝ＢＨ／ＣＢより、
ＣＢ＝ＢＨ／ｃｏｓθ
＝（ａ－ｘ）／ｃｏｓθ……(2)
台形の面積は
Ｓ＝（上底＋下底）×高さ÷２
＝（ＡＤ＋ＣＢ）×ｈ÷２
＝ａｈ／（２ｃｏｓθ）……(3)
また、△ＤＢＥにおいて、
ｓｉｎθ＝ＤＥ／ＢＤ＝ｈ／ａ……(4)
ｓｉｎ2θ＋ｃｏｓ2θ＝１に(4)を代入
ｃｏｓθ＝\(\sqrt{\quad}\)（ａ2－ｈ2）／ａ……(5)
(5)を(3)に代入すると、
Ｓ＝ａ2ｈ／｛２\(\sqrt{\quad}\)（ａ2－ｈ2）｝……（答）
問２
平方完成を使って、解の公式を導くと、
ａ｛ｘ2＋（ｂ／ａ）ｘ＋（ｂ2／４ａ2）－（ｂ2／４ａ2）｝＋ｃ＝０
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）2－（ｂ2／４ａ）＋ｃ＝０
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）2－（ｂ2－４ａｃ）／４ａ＝０
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）2＝（ｂ2－４ａｃ）／４ａ
（ｘ＋ｂ／２ａ）2＝（ｂ2－４ａｃ）／４ａ2
平方根を取って、
ｘ＋ｂ／２ａ＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（ｂ2－４ａｃ）／２ａ
ｘ＝－ｂ／２ａ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（ｂ2－４ａｃ）／２ａ
＝｛－ｂ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（ｂ2－４ａｃ）｝／２ａ……（答）
問３
楕円の方程式
ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝１を変形して
ｙ＝\(\pm\)（ｂ／ａ）\(\sqrt{\quad}\)（ａ2－ｘ2）
楕円の四半分の面積を定積分を用いて求め、４倍する。
Ｓ＝４∫0ａ（ｂ／ａ）\(\sqrt{\quad}\)（ａ2－ｘ2）ｄｘ
ｘ＝ａｃｏｓθとおいて置換積分をする。
ｄｘ＝－ａｓｉｎθｄθ
ｘ： ０ → ａ
θ：９０°→ ０°
\(\sqrt{\quad}\)（ａ2－ｘ2）＝ａｓｉｎθ
より、
Ｓ＝４ｂ／ａ∫π/20ａｓｉｎθ×（－ａｓｉｎθ）ｄθ
＝４ｂ／ａ∫0π/2ａ2ｓｉｎ2θｄθ
＝４ａｂ∫0π/2ｓｉｎ2θｄθ
＝４ａｂ∫0π/2｛（１－ｃｏｓ２θ）／２｝ｄθ
＝２ａｂ［θ－ｓｉｎ２θ／２］0π/2
＝２ａｂ｛（π／２－０）－（０－０）｝
＝πａｂ……（答）
問４
ｘ2－ｙ2＝１を変形して、
ｘ2＝ｙ2＋１
より、
ｙ＝－２から２までのｙ軸の回りの回転体の体積は
Ｖ＝２×π∫02ｘ2ｄｙ
＝２π∫02（ｙ2＋１）ｄｙ
＝２π［ｙ3／３＋ｙ］02
＝２π｛（８／３＋２）－（０＋０）｝
＝２π×１４／３
＝（２８／３）π……（答）