①
相加相乗平均
ａ＋ｂ　　　　　　　　　ｂ＋ｃ　　　　　　　　　ｃ＋ａ
―――　≧　\(\sqrt{\quad}\)（ａｂ）、―――　≧　\(\sqrt{\quad}\)（ｂｃ）、―――　≧　\(\sqrt{\quad}\)（ｃａ）
　２　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　２

（ア）不等式の不等号は、プラスの値を掛けるときは、変化しない。
　　　マイナスを掛けると、不等号は逆になる。例えば、
　　　不等式３＞２に－４を掛ける。
　　　３×（－４）＜２×（－４）
　　　－１２＜－８
　　　マイナスを掛けると、不等号は逆になる
（イ）ａ，ｂ，ｃ，ｄが正のとき、ａ＞ｂ、ｃ＞ｄならば、ａｃ＞ｂｄ
　　　ａ＞ｂ→ａｃ＞ｂｃ、ｂｃ＞ｂｄ→ａｃ＞ｂｄ
（ウ）右辺が\(\sqrt{\quad}\)（　）なので、右辺≧０より、したがって、左辺≧０
以上より、３つの相加相乗平均の不等式を辺々掛けて、
（ａ＋ｂ）　（ｂ＋ｃ）　（ｃ＋ａ）
―――――×―――――×―――――　≧　\(\sqrt{\quad}\)（ａｂ）\(\sqrt{\quad}\)（ｂｃ）\(\sqrt{\quad}\)（ｃａ）
　　２　　　　　２　　　　　２
両辺に８を掛けて、
（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）≧８\(\sqrt{\quad}\)（ａｂｃ）^2＝８ａｂｃ

②
公式に代入するという意味です。ｂに異なる値（ｂ＋ｃ）を代入すると言う
意味ではない。
代入するという言葉を誤解してしまうのは、まずいので、次のように
考えると良い。
左辺＝｜ａ＋ｂ＋ｃ｜
　　＝｜ａ＋（ｂ＋ｃ）｜←公式｜ａ＋ｂ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ｜より
　　≦｜ａ｜＋｜ｂ＋ｃ｜←公式｜ａ＋ｂ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ｜より
　　≦｜ａ｜＋｜ｂ｜＋｜ｃ｜＝右辺