多変数関数の極値を求める考え方をする。
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋２．６ｙ^2－４ｘ－６．６ｙ＋２．７ｘｙ＋４．９
次の偏微分をして、
ｆｘ＝２ｘ－４＋２．７ｙ
ｆｙ＝５．２ｙ－６．６＋２．７ｘ
ｆｘｘ＝２
ｆｘｙ＝２．７ｆｙｙ＝５．２
ｆｘｘ＝Ａ、ｆｘｙ＝Ｂ、ｆｙｙ＝Ｃとすると、
Δ＝Ａ・Ｃ－Ｂ^2
　＝２・５．２－２．７^2
　＝１０．４－７．２９
　＝３．１１＞０
Δ＞０より、極値が存在する。（Δ＜０のときは、極値なし）
Ａ＝２＞０より、極小値（Ａ＜０のときは、極大値）
範囲(0≦x≦1, 0≦y≦1)内で、ΔもＡもプラス。
（∵ΔもＡもｘ、ｙがないので、明らか。）
最小となる点（ｘ，ｙ）は、極小値の点となるから、
ｆｘ＝２ｘ－４＋２．７ｙ＝０
ｆｙ＝５．２ｙ－６．６＋２．７ｘ＝０
連立を解いて、
　　２９８　　　　２４０
ｘ＝―――　、ｙ＝―――　………（答）
　　３１１　　　　３１１

高校数学の範囲で解いてみました。
１変数を固定して、独立２変数関数を１変数関数として考えると、
二次関数の最小問題に帰着します。

与式の小数を分数に直し、
f(x,y)=\(x^{2}\) + (\(\frac{13}{5}\))\(y^{2}\) - 4x - (\(\frac{33}{5}\))y + (\(\frac{27}{10}\))xy + \(\frac{49}{10}\) とおく。

yを0≦y≦1の範囲内で固定し、f(x,y)をxについての関数g(x)と見なす。
g(x)を整理すると、
g(x)={x - (2 - 27\(\frac{y}{20}\))}^2 + (\(\frac{311}{400}\))\(y^{2}\) - (\(\frac{6}{5}\))x + \(\frac{9}{10}\)
0≦x≦1の範囲でg(x)が最小値をとるxの値を考える。

1)2-(\(\frac{27}{20}\))y＜0のとき、つまり\(\frac{40}{27}\)＜yのとき
0≦y≦1を満たさないので不適
2)0≦2-(\(\frac{27}{20}\))y＜1のとき、つまり\(\frac{20}{27}\)＜y≦\(\frac{40}{27}\)のとき
0≦y≦1より\(\frac{20}{27}\)＜y≦1…①
このとき、x=2-(\(\frac{27}{20}\))yでg(x)は最小
3)1≦2-(\(\frac{27}{20}\))yのとき、つまりy≦\(\frac{20}{27}\)のとき
0≦y≦1より0≦y≦\(\frac{20}{27}\)…②
このとき、x=1でg(x)は最小

上記のことについて、yの固定を払い、①・②それぞれの範囲で動かした時、
h(y)=(\(\frac{311}{400}\))\(y^{2}\) - (\(\frac{6}{5}\))x + \(\frac{9}{10}\)を最小にするyと最小値を求める
①のとき
h(y)=(\(\frac{311}{400}\))(y - \(\frac{240}{311}\)\()^{2}\) + \(\frac{1359}{3110}\)
より、y=\(\frac{240}{311}\)のときh(y)は最小値\(\frac{1359}{3110}\)をとる。
このときx=2-(\(\frac{27}{20}\))(\(\frac{240}{311}\))=\(\frac{298}{311}\)なので、
f(x,y)=\(\frac{1359}{3110}\)

②のとき
h(y)が最小になるのはy=\(\frac{20}{27}\)のときで、最小値\(\frac{3191}{7290}\)
このときx=1より、f(x,y)=\(\frac{3191}{7290}\)

ここで、\(\frac{1359}{3110}\)＜\(\frac{3191}{7290}\)より、①の時の(x,y)でf(x,y)は最小値をとる。

以上のことより、x=\(\frac{298}{311}\), y=\(\frac{240}{311}\)のときにf(x,y)が最小値\(\frac{1359}{3110}\)をとる。

∴(x,y)=(\(\frac{298}{311}\),\(\frac{240}{311}\)) …(答)

高校数学の窓
武田様、naoya様

質問＜１５９６＞乾「最小値」

\(x^{2}\)+2.6\(y^{2}\)-4x-6.6y+2.7xy+4.9 を最小にするx,y の値（0≦x≦1, 0≦y≦1)。

で、ご指導頂きました。
周囲にアドバイスできる者が皆無だったので非常に助かりました。
この数式を用いた小生の学術論文がpublishされましたので、
報告させて頂きます。
ヒトで記録した脳磁図（神経活動の際に発生する微弱な磁場）のデータ解析に
どうしてもこの式が必要だったのです。膨大なデータで、上記と同様の式をのべ
10000回くらい計算しました。といっても半分くらいはエクセルのマクロで
やらせましたが。
教師業の傍らこのような立派なサイトを運営しておられ、感服致します。
ありがとうございました。論文を添付しておきますが、全く意味不明だと思います。

自然科学研究機構　
生理学研究所　
感覚運動調節研究部門
乾　幸二

※ご厚意で、学術論文が添付されていましたので、掲載させて頂きます。
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