①1÷（３－\(\sqrt{\quad}\)7） ←ルート７と見てください
の整数部分を求めるときに、そのまま有利化しない
で計算していくのと、有利化した場合では値が異なるので
すがどうしてですか？必ず最初に有利化をしなければいけ
ないのですか？確か、教科書には書いてなかったはずなの
ですが。
②n≦\(\sqrt{\quad}\)1996＜n＋１ ←ルート1996です
を満たす整数nを求めよ。
とあるのですが２乗して、地道に1996に近い二乗した値
を探すしか方法は無いのですか？
③恒等式を数値代入法で解いたとき、なぜ逆証しないと
いけないのですか？係数比較法においてはしなくても
良いのですか？違いは何ですか？分かりやすく教えて
下さい。
①
分母を有理化すると、
１ ３＋\(\sqrt{\quad}\)７ ３＋\(\sqrt{\quad}\)７
―――― ＝ ―――― ＝ ――――
３－\(\sqrt{\quad}\)７ ９－７ ２
＝ ２．８２２８７……… ≒ ２．８２２８
有理化しないで計算すると、
１ １
―――― ＝ ――――――――――
３－\(\sqrt{\quad}\)７ ０．３５４２４………
１
＝ ２．８２２８７……… ≒ ――――― ≒ ２．８２４８
０．３５４
四捨五入しないで計算すると同じ答えになるが、計算の途中で
四捨五入すると、誤差が出てしまう。
②
平方をして見つける以外に、開平算を使って\(\sqrt{\quad}\)１９９６を開き、
そこから整数ｎを見つける方法がある。
４ ４．６ ７
＿＿＿＿＿＿＿＿
４ \(\sqrt{\quad}\)１９９６
４ １６
―――――――――――――
８４ ３９６
４ ３３６
―――――――――――――
８８６ ６０００
６ ５３１６
―――――――――――――
８９２７ ６８４００
７ ６２４８９
―――――――――――――
８９３４ ５９１１
ｎ≦\(\sqrt{\quad}\)１９９６＜ｎ＋１より、
∴ｎ＝４４………（答）
③
次の恒等式を係数比較法と数値代入法で解いてみよう。
（例）恒等式２ｘ^2＋ａｘ－１２＝（２ｘ＋ｂ）（ｘ－４）
を満たすａ，ｂを求めよ。
【係数比較法】
２ｘ^2＋ａｘ－１２＝（２ｘ＋ｂ）（ｘ－４）
＝２ｘ^2＋（ｂ－８）ｘ－４ｂ
左右の係数を比較して、
ａ＝ｂ－８
－１２＝－４ｂ
∴ｂ＝３、ａ＝－５………（答）
【数値代入法】
２ｘ^2＋ａｘ－１２＝（２ｘ＋ｂ）（ｘ－４）
に、ｘ＝１，２を代入すると、
２＋ａ－１２＝（２＋ｂ）（－３）より、ａ－１０＝－３ｂ－６
８＋２ａ－１２＝（４＋ｂ）（－２）より、２ａ－４＝－２ｂ－８
連立を解いて、
ａ＝－５、ｂ＝３………（答）
しかし、連立を解く過程で、異なる答えが出てくる可能性があるので、
逆証する必要がある。
ａ＝－５より、
左辺＝２ｘ^2－５ｘ－１２
ｂ＝３より、
右辺＝（２ｘ＋３）（ｘ－４）
＝２ｘ^2－８ｘ＋３ｘ－１２
＝２ｘ^2－５ｘ－１２
∴左辺＝右辺