z+(\(\frac{1}{z}\))=2cosθ
両辺にzをかけてzに関する二次方程式を解くと
z=cosθ\(\pm\)isinθ
よってド・モアブルの定理を使って
\(z^{6}\)=cos6θ+-isin6θ
1/(\(z^{6}\))=cos6θ-+isin6θ（複合同順）
ゆえに
\(z^{6}\)+(1/\(z^{6}\))=2cos6θ=1
cos6θ=\(\frac{1}{2}\)
0≦θ≦90°より0°≦6θ≦540°
6θ＝60°、300°、420°
∴θ＝10°、50°、70°
合ってるかなぁ？？？（汗）

再度投稿します。

|z|=r とおくと
z=r(cosθ+i・sinθ)とおけます。
\(\frac{1}{z}\)=1/{r(cosθ+i・sinθ)}
（分母と分子ににcosθ-i・sinθをかけて）
=(cosθ-i・sinθ)/r
z+(\(\frac{1}{z}\))={r+(\(\frac{1}{r}\))}cosθ=2cosθ
よって r+(\(\frac{1}{r}\))=2 ∴r=1
ド・モアブルの定理より
（途中計算省略します）
\(z^{6}\)+1/(\(z^{6}\))=2cos6θ=1

後は前の投稿のとおりです。

こっちの解法の方がいいかもしれません。