２のｘ乗＋８のｙ乗は\(2^{x}\)+\(8^{y}\)と書けます。
x+3y-2=0よりx+3y=2です。
相加・相乗平均の不等式より
\(2^{x}\)+\(8^{y}\)=\(2^{x}\)+2^(3y)
≧2*\(\sqrt{\quad}\){\(2^{x}\)*2^(3y)}
＝2*\(\sqrt{\quad}\){2^(x+3y)}
=2*\(\sqrt{\quad}\)(\(2^{2}\))
=2*2
=4
等号はx=3yつまりx=1、y=\(\frac{1}{3}\)のとき成立します。
よってx=1、y=\(\frac{1}{3}\)のとき\(2^{x}\)+\(8^{y}\)は最小値4をとります。

\(2^{x}\)=t \(8^{y}\)=s とおきます。
x=log(2)t
y=log(8)s=log(2)\(\frac{s}{3}\)log(2)2=(\(\frac{1}{3}\))log(2)s
x+3y=2より
log(2)t+log(2)s=2
つまり
log(2)ts=2
よって
ts=4　s=\(\frac{4}{t}\)
\(2^{x}\)+\(8^{y}\)=t+s=t+(\(\frac{4}{t}\))
ここで明らかにt>0 \(\frac{4}{t}\)>0 だから
相加平均と相乗平均の関係から
t+(\(\frac{4}{t}\))≧2\(\sqrt{\quad}\)(t・\(\frac{4}{t}\))=4
よって最小値は４

あってるでしょうか？？・・（汗