最近解けそうで解けない問題によく出会います。
よろしくお願いします。
問題１．直角三角形ＡＢＣ（∠ＡＣＢ＝９０°）のＢＣ、ＣＡ
上に２辺を持ち、ＡＢ上に頂点のある正方形がある。
このとき、直角三角形ＡＢＣから正方形を引いた面積
と、正方形の面積の比をＡＢ、ＢＣ、ＣＡの長さを
用いて表せ。
問題２．Ｎ×Ｎ（Ｎは奇数）の桝目の中心を１として下のような
順で枡を埋める。このとき各対角線上の数の和をＡ、Ｂ
とするとき、Ａ－Ｂを求めよ。
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|↑|10|11|12|13|
|↑|９|２|３|14|
|↑|８|１|４|15|
|↑|７|６|５|16|
|21|20|19|18|17|
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問題３．すべての実数ｘについて次の式が成り立つとき、整数
ａ、ｂ、ｃの値の組をすべて求めよ。
(ｘ－ａ)(ｘ－７７)＋５＝(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ）
問１
ＡＢ＝ｃ、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂとおく。
正方形の一辺をＤＥ＝ＤＦ＝ｘとすると、
△ＡＤＥと△ＤＢＦは相似なので、
ＡＥ：ＤＥ＝ＤＦ：ＢＦ
（ｂ－ｘ）：ｘ＝ｘ：（ａ－ｘ）
（ｂ－ｘ）（ａ－ｘ）＝ｘ2
ａｂ－（ａ＋ｂ）ｘ＋ｘ2＝ｘ2
ｘ＝ａｂ／（ａ＋ｂ）……①
△ＡＤＥと△ＤＢＦの面積は
Ｓ1＝（ｂ－ｘ）ｘ／２＋（ａ－ｘ）ｘ／２
正方形ＥＤＦＣの面積は
Ｓ2＝ｘ2
面積の比は
Ｓ1：Ｓ2＝｛（ｂ＋ａ）ｘ－２ｘ2｝／２：ｘ2
①を代入して、
Ｓ1：Ｓ2
＝ａｂ（ａ2＋ｂ2）／｛２（ａ＋ｂ）2｝：（ａｂ）2／（ａ＋ｂ）2
＝（ａ2＋ｂ2）／２：ａｂ
＝ｃ2／２：ａｂ
＝ｃ2：２ａｂ
したがって
Ｓ1：Ｓ2＝ＡＢ2：２ＢＣ・ＣＡ……（答）
問２
ｋ Ｎ×Ｎ Ａ－Ｂ
１ ３×３ 14－10＝４
２ ５×５ 42－34＝８
３ ７×７ 86－74＝12
したがって、
ｋ番目は(2k+1)×(2k+1)となり、Ａ－Ｂ＝４ｋとなるから、
Ｎ＝2k+1より、ｋ＝（Ｎ－１）／２
Ａ－Ｂ＝４ｋ＝４（Ｎ－１）／２＝２（Ｎ－１）
Ｎ×Ｎの桝目のとき、Ａ－Ｂ＝２（Ｎ－１）……（答）
問３
（ｘ－ａ）（ｘ－７７）＋５＝（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）
展開して、
ｘ2－(77+a)ｘ＋77a+5＝ｘ2－(b+c)ｘ＋bc
すべての実数ｘについて成り立つから、係数を見比べて、
７７＋ａ＝ｂ＋ｃ……①
７７ａ＋５＝ｂｃ……②
連立して、
①より、ａ＝ｂ＋ｃ－７７
②に代入して、
７７（ｂ＋ｃ－７７）＋５＝ｂｃ
７７ｂ－ｃｂ＝－５＋５９２９－７７ｃ
（７７－ｃ）ｂ＝－５＋５９２９－７７ｃ
ｂ＝（－５＋５９２９－７７ｃ）／（７７－ｃ）
＝（－５）／（７７－ｃ）＋７７
ａ＝ｂ＋ｃ－７７
＝（－５）／（７７－ｃ）＋７７＋ｃ－７７
＝（－５）／（７７－ｃ）＋ｃ
ａ，ｂ，ｃが整数であるためには、（７７－ｃ）が５の約数
でなければならないので、７７－ｃ＝１または７７－ｃ＝５
ｃ＝７６または７２
ａ＝７１または７１
ｂ＝７２または７６
したがって、
（ａ，ｂ，ｃ）＝（７１，７２，７６）
＝（７１，７６，７２）