\(a^{n}\)/n!->0(as n->Infinity)
証明　2a＜Nとなる自然数Nを１つ決める。
n>Nのとき、
\(a^{n}\)/n!=(\(\frac{a}{1}\))(\(\frac{a}{2}\))...(a/N-1)(a/N)...(\(\frac{a}{n}\))
＜(\(\frac{a}{1}\))(\(\frac{a}{2}\))...(a/N-1)(\(\frac{1}{2}\))(\(\frac{1}{2}\))...(\(\frac{1}{2}\))
=(\(\frac{a}{1}\))(\(\frac{a}{2}\))...(a/N-1)(\(\frac{1}{2}\))^(n-N+1)
->0 (as n-> infinity)
終

a≧Mとなるような最大の自然数Mをとる
このときM≦a＜M+1である。

n＞Mなる自然数nに対して
0＜\(a^{n}\)/n!
＝(a^M/M！)*{a^(n-M)}/{(M+1)*…*n}
＜(a^M/M！)*{a/(M+1)}^(n-M)

n→∞とおくと
{a/(M+1)}^(n-M)→0
（0＜a/(M+1)＜1だから！）

よって
n→∞のとき
(a^M/M！)*{a/(M+1)}^(n-M)→0

したがって、はさみうちの原理より
n→∞のとき、\(a^{n}\)/n!→0
となります。