剰余定理により
P(x)=(x-a)Q(x)+R(x)にx=aを代入すること…(*)と、
P(a)/(a-a)はぜんぜん違います。
(*)⇔P(x)を(x-a)で割ること
であって、さらにそこにx=aを代入することとはそもそも違います。
全くもとの操作をたどっていないので、見当違いだと思います。

すみません、僕のほうがとんでもなく見当違いでした。
ヨッチさんのおっしゃるとおり、剰余の定理で用いているQ(x),Rは
それぞれP(x)を(x-a)で割った商と余りなので、
P(x)/(x-a)=Q(x)+R/(x-a) だから、この式にx=aを代入すると0で割る
ことになり、定義されないのではないか？ということ、ですよね？
確かにそうなのですが、剰余の定理においては、実際に割り算を行って
剰余を考えているわけではありません。

整式P(x)について、
P(x)=(x-a)A(x)+B　・・・①
のようにxについて恒等的に成り立つような整式A(x)と定数Bを考え、
①にx=aを代入すると、P(a)=Bとなります。
ここで、A(x)とBはどんな数であるかと実際に考えると、
整式P(x)を(x-a)で割った商Q(x)と余りRなので、A(x)=Q(x)、B=Rとして、
P(x)=(x-a)Q(x)+R
これにx=aを代入してP(a)=Rだ、というのが剰余の定理です。

なので、剰余の定理では、実際にP(x)を(x-a)で割り算をして剰余を考えて
いるわけではなく、恒等式①を満たすA(x)とBを考えるためP(x)/(x-a)を考えた、
ということだと思います。

大変失礼いたしました。