例題32 ＝三角形の内心＝
AB=6、BC=10、CA=9である三角形ABCの内心Iとする。
AIと辺BCの交点をDとするとき、次のものを求めよ。
（1）線分BDの長さ （2）AI：ID
以上の問題の過程を教えてください。お願いします。
答えは、
（1）4 （2）3：2 です。
例題32 ＝三角形の内心＝
AB=6、BC=10、CA=9である三角形ABCの内心Iとする。
AIと辺BCの交点をDとするとき、次のものを求めよ。
（1）線分BDの長さ （2）AI：ID
以上の問題の過程を教えてください。お願いします。
答えは、
（1）4 （2）3：2 です。
ベクトルPQを{PQ}で表す
(1) 内心ベクトルの公式より
{AI}=[10{AA}+9{AB}+6{AC}]/(10+9+6)
=9{AB}+6{AC}/25
=[(6+9)/25]×[(9{AB}+6{AC})/(6+9)]
=[\(\frac{3}{5}\)]×[(9{AB}+6{AC}/(6+9)]……＊
よってBD:DC=6:9
BC=10よりBD:(10-BD)=2:3
20-2BD=3BD
BD=4
(2) ＊より{AI}=[\(\frac{3}{5}\)]{AD}
従ってAI:AD=3:5
故に AI:ID=3:2
三角形の内心の性質を理解すれば簡単です。
三角形の内心とは
角の二等分線の交点ですね。
また、△ＡＢＣにおいて
∠Ａの二等分線とＢＣとの交点をＤとすると
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣが成り立ちます
この性質を利用して解く問題です。
（１）
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤより
ＢＤ＝１０×（６／１５）＝４
（２）
ＢＩは∠Ｂの二等分線だから
ＡＢ：ＢＤ＝ＡＩ：ＩＤ＝６：４＝３：２