次の命題を問いにしたがって証明せよ。ただし、aは整数とする。
「a＾2が3の倍数ならば、aは3の倍数である」
（1）この命題の対偶をいえ。
（2）対偶を証明せよ。
次の命題を問いにしたがって証明せよ。ただし、aは整数とする。
「a＾2が3の倍数ならば、aは3の倍数である」
（1）この命題の対偶をいえ。
（2）対偶を証明せよ。
(1）aが3で割り切れないならば\(a^{2}\)も3で割り切れない。
(2) aが3で割り切れないならaを3で割った余りは1か2である。
aが3で割り切れないならaを3で割った余りは1のとき
a=3k+1
\(a^{2}\)＝(3k+1\()^{2}\)=9\(k^{2}\)+6k+1＝3*(3\(k^{2}\)+2k)+1
だから\(a^{2}\)を3で割った余りは1
よって、\(a^{2}\)も3で割り切れない。
aが3で割り切れないならaを3で割った余りは2のとき
a=3k+2
\(a^{2}\)＝(3k+2\()^{2}\)=9\(k^{2}\)+12k+4＝3*(3\(k^{2}\)+4k+1)+1
だから\(a^{2}\)を3で割った余りは1
よって、この場合も\(a^{2}\)も3で割り切れない。
よって、aが3で割り切れいないとき、\(a^{2}\)も3で割り切れないことが示された。