2次方程式は最強の武器「解の公式」で絶対解けるので、
無理に因数分解する必要はないです。
式を見て因数分解できそうならすればよいでしょう。
(1)因数分解できます
(与式)⇔(2x-7)(7x-13)=0　∴x=\(\frac{7}{2}\),\(\frac{13}{7}\)
(2)因数分解できません
解の公式より、x={-1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)13}/6
(3)見た感じ因数分解できそうですが、無理数だと僕は因数分解する
　 気が起きないので…
解の公式より、x=\(\sqrt{\quad}\)2,-3\(\sqrt{\quad}\)2
(与式)⇔(x-\(\sqrt{\quad}\)2)(x+3\(\sqrt{\quad}\)2)=0となることに気づいたなら、
そのように答案を書けば良いと思います。

(1)-75が整数なので14と91についてそれぞれがどのような
　整数の積であるかを考えてみると14は自然数、91は整数
　の範囲では
　14=14・1 7・2
　91=91・1 13・7 (-1)・(-91) (-7)・(-13)
　たすき掛けをすると-75が出来るものは
　7・2 (-13)・(-7)を選択したときなので
　1\(4^{2}\)-75x+91=(7x-13)(2x-7)

(2)(1)と同様にすると
　3=3・1
　-1=1・(-1)
　たすき掛けをしても1は出来ない→解の公式

(3)2\(\sqrt{\quad}\)2に着目すると\(x^{2}\)の係数が1であることから-6を\(\sqrt{\quad}\)2
　の実数倍の積で表せばよいことがわかる
　-6=(3\(\sqrt{\quad}\)2)・(-\(\sqrt{\quad}\)2) (-3\(\sqrt{\quad}\)2)・(\(\sqrt{\quad}\)2)
　となることから足して2\(\sqrt{\quad}\)2が出来るものは
　-6=(3\(\sqrt{\quad}\)2)・(-\(\sqrt{\quad}\)2)を選択したときなので
　\(x^{2}\)+2\(\sqrt{\quad}\)2x-6=(x-\(\sqrt{\quad}\)2)(x+3\(\sqrt{\quad}\)2)

(1)14\(x^{2}\)－75x＋91＝0

これは因数分解できて
(2x-7)(7x-13)=0
x=\(\frac{7}{2}\) , \(\frac{13}{7}\)

因数分解はたすきがけの法則です。

(2)3\(x^{2}\)＋x－1＝0

これを因数分解するのは大変
解の公式から

x=(-1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)13)/6

(3)\(x^{2}\)＋2\(\sqrt{\quad}\)2x－6＝0

これは\(\sqrt{\quad}\)2×3\(\sqrt{\quad}\)2=6に気づけば
因数分解して
(x-\(\sqrt{\quad}\)2)(x+3\(\sqrt{\quad}\)2)=0
x=\(\sqrt{\quad}\)2 , x=-3\(\sqrt{\quad}\)2

さて、因数分解できるものとそうでないものの見分け方
・・・ということですが、
実数解をもつ二次方程式は、必ず因数分解できます。
上の問題の(2)の例だと
{x-(-1+\(\sqrt{\quad}\)13)/6}{x-(-1-\(\sqrt{\quad}\)13)/6}=0と因数分解できます。
（今は複素数は考えないことにします。）
ただこれは、二つの解が分かったから出来たわけで、解がわからないまま
因数分解するのはまず無理でしょう。因数分解する場合は展開の公式に当
てはまらない場合は無理せずに、解の公式を使うといいでしょう。

一般に、xに関する二次方程式が異なる二つの実数解α，βをもつならば
(x-α)(x-β)=0と必ず因数分解できるわけです。
どんな二次方程式も解の公式で解けますが、因数分解しやすいものは因数
分解して解いた方が計算の誤りも少なくていいと思います。